Bài 5.34 trang 127 Toán 9 Cùng khám phá tập 1: Trong Hình 5.73, bốn cạnh của tứ giác ABCD tiếp xúc với đường tròn (O)...

Đề bài :

Trong Hình 5.73, bốn cạnh của tứ giác ABCD tiếp xúc với đường tròn (O). Chứng minh rằng \(AD + BC = AB + CD\).

Hướng dẫn giải :

+ Chứng minh AD, AB, BC, CD là các tiếp tuyến của (O).

+ Sử dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau để chỉ ra \(AQ = AM\), \(BM = BN\), \(CN = CP\), \(QD = DP\).

+ Ta có: \(AD + BC\)\( = AQ + DQ + BN + NC\)\( = AM + DP + BM + PC\)\( = AB + DC\).

Lời giải chi tiết :

Vì AD tiếp xúc với (O) tại Q nên AD là tiếp tuyến của (O) với Q là tiếp điểm.

Tương tự ta có: AB, BC, CD là các tiếp tuyến của (O).

Vì AQ và AM là tiếp tuyến của (O) nên \(AQ = AM\).

Tương tự ta có: \(BM = BN\), \(CN = CP\), \(QD = DP\).

Ta có: \(AD + BC\)\( = AQ + DQ + BN + NC\)\( = AM + DP + BM + PC\)\( = \left( {AM + BM} \right) + \left( {DP + PC} \right)\)\( = AB + DC\).