Bài 7 trang 95 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình chóp \(S. ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M, {\rm{ }}N...

Đề bài :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}CD\).

a) Xác định giao điểm của đường thẳng \(NP\) với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) với các mặt phẳng \(\left( {SAB} \right),{\rm{ }}\left( {SAD} \right),{\rm{ }}\left( {SBC} \right){\rm{, }}\left( {SCD} \right)\).

Hướng dẫn giải :

a) Để xác định giao điểm của đường thẳng \(NP\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), ta cần chọn một đường thẳng trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), rồi tìm giao điểm của đường thẳng đó với đường thẳng \(NP\).

b) Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta cần tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

a) Xét mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(AB\) và \(NP\).

Ta có \(\left\{ E \right\} = AB \cap NP\), mà \(NP \subset \left( {MNP} \right)\) nên \(\left\{ E \right\} = \left( {SAB} \right) \cap NP\).

b)

Giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\):

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in SA \subset \left( {SAB} \right)\\M \in \left( {MNP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MNP} \right)\).

Mặt khác, theo câu a, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}E \in AB \subset \left( {SAB} \right)\\E \in NP \subset \left( {MNP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MNP} \right)\).

Từ đó, giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\) là đường thẳng \(ME\).

Giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\):

Trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(F\) là giao điểm của \(AD\) và \(NP\).

Vì \(F\) là giao điểm của \(AD\) và \(NP\), ta suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}F \in AD\\F \in NP\end{array} \right.\).

Do \(AD \subset \left( {SAD} \right)\), \(NP \subset \left( {MNP} \right)\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}F \in \left( {SAD} \right)\\F \in \left( {MNP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)\).

Hơn nữa, ta cũng có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in SA \subset \left( {SAD} \right)\\M \in \left( {MNP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)\).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\) là đường thẳng \(MF\).

Giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\):

Ta có \(ME\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\)\( \Rightarrow ME \subset \left( {SAB} \right)\).

Trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), gọi \(\left\{ K \right\} = ME \cap SB\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}K \in ME \subset \left( {MNP} \right)\\K \in SB \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow K \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).

Hơn nữa, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {MNP} \right)\\N \in BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow N \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\) là đường thẳng \(NK\).

Giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\):

Ta có \(MF\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\)\( \Rightarrow MF \subset \left( {SAD} \right)\).

Trên mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), gọi \(\left\{ L \right\} = MF \cap SD\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}L \in MF \subset \left( {MNP} \right)\\L \in SD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow L \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SCD} \right)\).

Hơn nữa, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}P \in \left( {MNP} \right)\\P \in CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow P \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SCD} \right)\).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\) là đường thẳng \(LP\).