Bài 11 trang 99, 100 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho ba đường thẳng \(a\), \(b\), \(c\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?...

Đề bài :

Cho ba đường thẳng \(a\), \(b\), \(c\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu \(a\) và \(b\) cùng song song với \(c\) thì \(a\) song song với \(b\).

B. Nếu \(a\) và \(b\) cùng chéo nhau với \(c\) thì \(a\) và \(b\) chéo nhau.

C. Nếu \(a\) song song với \(b\), \(b\) và \(c\) chéo nhau thì \(a\) và \(c\) chéo nhau hoặc cắt nhau.

D. Nếu \(a\) và \(b\) cắt nhau, \(b\) và \(c\) cắt nhau thì \(a\) và \(c\) cắt nhau.

Hướng dẫn giải :

Kiểm tra từng đáp án. Với các đáp án sai, chỉ ra một ví dụ chứng minh nó sai.

Lời giải chi tiết :

Đáp án A sai. Xét trường hợp \(a\) song song với \(c\), \(a\) trùng với \(b\). Khi đó ta có \(a\) và \(b\) cùng song song với \(c\), nhưng \(a\) không song song với \(b\) (do \(a\) trùng với \(b\)).

Đáp án B sai. Xét hai mặt phẳng song song \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Chọn đường thẳng \(c \in \left( Q \right)\) bất kỳ. Trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) chọn 2 đường thẳng \(a\) và \(b\) sao cho \(c\) không song song với hai đường thẳng trên. Khi đó ta có \(a\) và \(b\) cùng chéo nhau với \(c\), nhưng \(a\) và \(b\) không thể chéo nhau do chúng cùng nằm trong \(\left( P \right)\).

Đáp án D sai. Xét hai mặt phẳng song song \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Đường thẳng \(b\) cắt cả hai mặt phẳng lần lượt tại \(M\) và \(N\). Chọn đường thẳng \(a \subset \left( P \right)\) sao cho \(M \in a\); chọn đường thẳng \(c \in \left( Q \right)\) sao cho \(N \in c\). Khi đó hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau tại \(M\), hai đường thẳng \(b\) và \(c\) cắt nhau tại \(N\), nhưng \(a\) và \(c\) không cắt nhau.

Đáp án cần chọn là đáp án C.