Bài 44 trang 56 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 1\)...

Đề bài :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 1\), \({u_n} = \frac{1}{3}{u_{n - 1}} + 1\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\), \(n \ge 2\). Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

a) Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

b) Tìm công thức số hạng tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\), \(\left( {{v_n}} \right)\).

c) Tính tổng \(S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{10}}\).

Hướng dẫn giải :

a) Ta có \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2} = \frac{1}{3}{u_{n - 1}} + 1 - \frac{3}{2} = \frac{1}{3}{u_{n - 1}} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\left( {{u_{n - 1}} - \frac{3}{2}} \right) = \frac{1}{3}{v_{n - 1}}\).

Như vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = {u_1} - \frac{3}{2} = 1 - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}\) và công bội \(q = \frac{1}{3}\).

b) Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân, sử dụng công thức \({v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}}\) để xác định công thức số hạng tổng quát của \(\left( {{v_n}} \right)\), từ đó ta tính được công thức số hạng tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\).

c) Ta có:

\(S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{10}} = \left( {{u_1} - \frac{3}{2}} \right) + \left( {{u_2} - \frac{3}{2}} \right) + ... + \left( {{u_{10}} - \frac{3}{2}} \right) + \frac{3}{2}.10\)

\( = {v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{10}} + 5 = {v_1}\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} + 5\).

Lời giải chi tiết :

a) Xét \(\left( {{v_n}} \right)\), ta có \(\frac{{{v_n}}}{{{v_{n - 1}}}} = \frac{{{u_n} - \frac{3}{2}}}{{{u_{n - 1}} - \frac{3}{2}}} = \frac{{\frac{1}{3}{u_{n - 1}} + 1 - \frac{3}{2}}}{{{u_{n - 1}} - \frac{3}{2}}} = \frac{{\frac{1}{3}{u_{n - 1}} - \frac{1}{2}}}{{{u_{n - 1}} - \frac{3}{2}}} = \frac{{\frac{1}{3}\left( {{u_{n - 1}} - \frac{3}{2}} \right)}}{{{u_{n - 1}} - \frac{3}{2}}} = \frac{1}{3}\).

Như vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = \frac{1}{3}\) và số hạng đầu \({v_1} = {u_1} - \frac{3}{2} = 1 - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}\).

b) Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân, ta có \({v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \frac{{ - 1}}{2}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}}\).

Suy ra \({u_n} = {v_n} + \frac{3}{2} = \frac{{ - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}} + \frac{3}{2} = \frac{{{3^n} - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}}\).

c) Ta có:

\(S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{10}} = \left( {{u_1} - \frac{3}{2}} \right) + \left( {{u_2} - \frac{3}{2}} \right) + ... + \left( {{u_{10}} - \frac{3}{2}} \right) + \frac{3}{2}.10\)

\( = {v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{10}} + 5 = {v_1}\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} + 5 = \frac{{ - 1}}{2}.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}}}{{1 - \frac{1}{3}}} + 5 = \frac{{280483}}{{19683}}\).