Bài 40 trang 55 SBT Toán 11 - Cánh diều: Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân trên?...

Đề bài :

Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có \({u_1} + {u_5} = 51\) và \({u_2} + {u_6} = 102\)

a) Tính \({u_{10}}\).

b) Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân trên?

c) Số 9216 có là số hạng nào của cấp số nhân trên không?

Hướng dẫn giải :

a) Ta có \({u_2} + {u_6} = {u_1}q + {u_5}q = q\left( {{u_1} + {u_5}} \right)\), từ đó suy ra \(q = 2\) và \({u_1} = 3\). Từ đó tính được \({u_{10}}\).

b) Gọi \(k\) là vị trí của số 192 trong cấp số nhân trên. Ta cần tìm \(k\) để \(192 = {u_1}.{q^{k - 1}}\). Giải phương trình ta được \(k = 7\).

c) Giả sử 9216 là số thứ \(n\) của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\). Suy ra \(9216 = {u_1}.{q^n}\).

Ta suy ra \({2^{n - 1}} = 3072\). Điều này vô lý vì 3072 chia hết cho 3, và không có số nguyên dương \(n\) nào để \({2^{n - 1}}\) chia hết cho 3.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\\{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51\\{u_1}q\left( {1 + {q^4}} \right) = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51\\51q = 102\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51\\q = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {2^4}} \right) = 51\\q = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\q = 2\end{array} \right.\)

Vậy \({u_1} = 3\), \(q = 2\). Suy ra \({u_{10}} = {u_1}{q^9} = {3.2^9} = 1536\).

b) Gọi \(k\) là vị trí của số 192 trong cấp số nhân trên. Ta có \({u_k} = {u_1}.{q^{k - 1}}\).

Ta cần tìm \(k\) để \(192 = {u_1}.{q^{k - 1}}\).

Do \(192 = {3.2^{k - 1}} \Rightarrow {2^{k - 1}} = 64 \Rightarrow k - 1 = 6 \Rightarrow k = 7\).

Vậy 192 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân trên.

c) Giả sử 9216 là số thứ \(n\) của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\). Suy ra \(9216 = {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\).

\( \Rightarrow {3.2^{n - 1}} = 9216 \Rightarrow {2^{n - 1}} = 3072\).

Vì 3072 chia hết cho 3, và với \(n\) nguyên dương thì \({2^{n - 1}}\) không chia hết cho 3.

Suy ra không tồn tại \(n\) thoả mãn.

Vậy 9216 không là số hạng của cấp số nhân trên.