Bài 42 trang 56 SBT Toán 11 - Cánh diều: Ba số phân biệt tạo thành một cấp số nhân có tổng bằng 78; đồng thời chúng là số hạng...

Đề bài :

Ba số phân biệt tạo thành một cấp số nhân có tổng bằng 78; đồng thời chúng là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ chín của một cấp số cộng. Tìm ba số đó.

Hướng dẫn giải :

Gọi ba số cần tìm là \(a\), \(b\), \(c\).

Theo đề bài ta có \({b^2} = ac\), \(b = a + 2d\), \(c = a + 8d\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + 2d} \right)^2} = a\left( {a + 8d} \right)\\a + b + c = 78\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{d^2} = 4ad\\a + a + 2d + 8d = 78\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\d = 6\end{array} \right.\)

Từ đó tìm được \(b\) và \(c\).

Lời giải chi tiết :

Gọi ba số cần tìm là \(a\), \(b\), \(c\) \(\left( {a

Ba số này lập thành một cấp số nhân, nên ta có \(\frac{b}{a} = \frac{c}{b} \Rightarrow {b^2} = ac\).

Hơn nữa chúng là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ chín của một cấp số cộng, nên ta suy ra \(a\), \(b\), \(c\) lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ chín của cấp số cộng đó.

Từ dó \(b = a + 2d\), \(c = a + 8d\) với \(d\) là công sai của cấp số cộng.

Do \({b^2} = ac \Rightarrow {\left( {a + 2d} \right)^2} = a\left( {a + 8d} \right) \Rightarrow 4ad = 4{a^2} \Rightarrow a = d\)

Suy ra \(b = 3d\) và \(c = 9d\).

Mặt khác, vì tổng của ba số này là 78, nên \(a + b + c = 78 \Rightarrow d + 3d + 9d = 78\)

\(13d = 78 \Rightarrow d = 6\).

Vậy ba số cần tìm là:

\(a = d = 6\)

\(b = 3d = 3.6 = 18\)

\(c = 9d = 9.6 = 54\)