Bài 3 trang 64 Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Cho ba điểm A(2; 1; –1), B(3; 2; 0) và C(2; –1; 3). Chứng minh rằng A, B...

Đề bài :

Cho ba điểm A(2; 1; –1), B(3; 2; 0) và C(2; –1; 3).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ trung điểm của các cạnh của tam giác ABC.

c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải :

a) A, B, C không thẳng hàng thì tạo thành một tam giác. Chu vi tam giác bằng tổng độ dài 3 cạnh

b) Cho tam giác ABC có \(A({a_1};{a_2};{a_3})\), \(B({b_1};{b_2};{b_3})\), \(C({c_1};{c_2};{c_3})\), ta có \(M(\frac{{{a_1} + {b_1}}}{2};\frac{{{a_2} + {b_2}}}{2};\frac{{{a_3} + {b_3}}}{2})\) là trung điểm của AB

c) \(G(\frac{{{a_1} + {b_1} + {c_1}}}{3};\frac{{{a_2} + {b_2} + {c_2}}}{3};\frac{{{a_3} + {b_3} + {c_3}}}{3})\) là trọng tâm của tam giác ABC

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (1;1;1)\); \(\overrightarrow {AC} = (0; - 2; - 2)\)

\(\overrightarrow {AB} \ne k\overrightarrow {AC} \) => \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương => A, B, C không thẳng hàng nên là 3 đỉnh của một tam giác

\(AB = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \); \(AC = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}} = 2\sqrt 2 \)

\(\overrightarrow {BC} = ( - 1; - 3;3) \Rightarrow BC = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 3)}^2} + {3^2}} = \sqrt {19} \)

Chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = \(\sqrt 3 + 2\sqrt 2 + \sqrt {19} \)

b) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC

Ta có: \(A'(\frac{{2 + 3}}{2};\frac{{1 + 2}}{2};\frac{{ - 1}}{2})\) hay \(A'(\frac{5}{2};\frac{3}{2}; - \frac{1}{2})\)

\(B'(\frac{{3 + 2}}{2};\frac{{2 - 1 + }}{2};\frac{3}{2})\) hay \(B'(\frac{5}{2};\frac{1}{2}; - \frac{3}{2})\)

\(C'(\frac{{2 + 2}}{2};\frac{{1 - 1}}{2};\frac{{ - 1 + 3}}{2})\) hay \(C'(2;0;1)\)

c) \(G(\frac{{2 + 3 + 2}}{3};\frac{{1 + 2 - 1}}{3};\frac{{ - 1 + 3}}{3})\) hay \(G(\frac{7}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3})\)