Bài 8.38 trang 89 Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 600...

Đề bài :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 60⁰. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SO = \frac{{3a}}{4}\). Gọi E là trung điểm của đoạn BC và F là trung điểm của đoạn BE.

a) Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC).

Hướng dẫn giải :

a) (P) chứa đường thẳng a vuông góc với (Q) thì (P) và (Q) vuông góc với nhau.

b) Tính khoảng cách từ M đến (P)

+ Tìm (Q) chứa M và vuông góc với (P) theo giao tuyến d.

+ Tìm M hạ MH vuông góc với d (H thuộc d).

+ Khi đó MH là khoảng cách cần tìm.

Lời giải chi tiết :

a) SO vuông góc với (ABCD) nên SO vuông góc với BC (1)

Ta có: ABCD là hình thoi, góc BAD = 60⁰ nên tam giác ABD đều. Suy ra BD = a

Nên BO =\(\frac{1}{2}a\)

Mà: BE = \(\frac{1}{2}a\), góc CBD = 60⁰

Suy ra tam giác BOE đều

Mà F là trung điểm của BE. Nên OF vuông góc với BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC vuông góc với (SOF)

Vậy (SBC) vuông góc với (SOF).

b) Ta có: (SBC) vuông góc với (SOF)

SF là giao tuyến của (SOF) và (SBC)

Kẻ OJ vuông góc với SF

Suy ra OJ là khoảng cách từ O đến (SBC)

F là trung điểm BE nên BF = \(\frac{1}{4}a\)

\(OF = \sqrt {O{B^2} - B{F^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}a} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{4}a} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}a\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{O{J^2}}} = \frac{1}{{O{F^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4}a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{3}{4}a} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow JO = \frac{3}{8}a\end{array}\)

(SAB) và (SBC) vuông góc

Kẻ AK vuông góc với SB nên AK là khoảng cách từ A đến (SBC)