Bài 5.21 trang 114 Toán 9 Cùng khám phá tập 1: Trong Hình 5.42, để tàu không trật bánh ray khi chuyển hướng từ đường ray thẳng XA sang đường ray...

Đề bài :

Trong Hình 5.42, để tàu không trật bánh ray khi chuyển hướng từ đường ray thẳng XA sang đường ray thẳng YB, đoạn ray nối được thiết kế là một phần của đường tròn (O) tiếp xúc với XA tại A và BY tại B. Biết góc chuyển hướng của tàu là \(\widehat {AMB} = {105^o}\) và khoảng cách giữa hai điểm A và B là 730m. Tính bán kính của đường tròn (O). Làm tròn kết quả đến đơn vị mét.

Hướng dẫn giải :

+ Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra \(MA = MB\), \(\widehat {AMO} = \widehat {BMO} = \frac{1}{2}\widehat {BMA}\).

+ Chứng minh MO là đường trung trực của AB.

+ Gọi I là trung điểm của AB thì \(AI = \frac{{AB}}{2}\) và MO vuông góc với AB tại I.

+ Chứng minh tam giác MAO vuông tại A, tính góc MOA.

+ Tam giác AIO vuông tại I nên \(AI = AO.\sin IOA\), từ đó tính được AO.

Lời giải chi tiết :

Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên:

+ \(MA = MB\).

+ MO là tia phân giác góc BMA nên

\(\widehat {AMO} = \widehat {BMO} = \frac{1}{2}\widehat {BMA} = 52,{5^o}\).

Vì \(OA = OB\) (bán kính (O)) nên O thuộc đường trung trực của AB.

Vì \(MA = MB\) nên M thuộc đường trung trực của AB.

Do đó, MO là đường trung trực của AB.

Gọi I là trung điểm của AB thì \(AI = \frac{{730}}{2} = 365\left( m \right)\) và MO vuông góc với AB tại I.

Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên \(MA \bot AO\)

Suy ra, tam giác MOA vuông tại A nên \(\widehat {MOA} = {90^o} - \widehat {AMO} = 37,{5^o}\)

Tam giác AIO vuông tại I nên \(AI = AO.\sin IOA\),

suy ra \(AO = \frac{{AI}}{{\sin IOA}} = \frac{{365}}{{\sin 37,{5^o}}} \approx 600\left( m \right)\).

Vậy bán kính đường tròn (O) khoảng 600m.