Bài 55 trang 57 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tổng \(n\) số hạng đầu là\({S_n} = \frac{{n\left( { - 1 - 5n}...

Đề bài :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tổng \(n\) số hạng đầu là\({S_n} = \frac{{n\left( { - 1 - 5n} \right)}}{2}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

a) Tính \({u_1}\), \({u_2}\) và \({u_3}\).

b) Tìm công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\).

c) Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng.

Hướng dẫn giải :

a) Ta có \({S_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của dãy.

Với \(n = 1\) ta có \({S_1} = {u_1}\)

Với \(n = 2\) ta có \({S_2} = {u_1} + {u_2}\)

Với \(n = 3\) ta có \({S_3} = {u_1} + {u_2} + {u_3}\)

Giải hệ phương trình, ta tính được \({u_1}\), \({u_2}\) và \({u_3}\).

b) Sử dụng công thức \({u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}}\)

c) Để chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng, từ kết quả câu b, ta cần chứng minh \({u_n} - {u_{n - 1}}\) là hằng số.

Lời giải chi tiết :

a, Ta có

\({S_1} = {u_1} \Rightarrow {u_1} = \frac{{1\left( { - 1 - 5.1} \right)}}{2} = - 3\)

\({S_2} = {u_1} + {u_2} = {S_1} + {u_2} \Rightarrow {u_2} = {S_2} - {S_1} = \frac{{2\left( { - 1 - 5.2} \right)}}{2} - \frac{{1\left( { - 1 - 5.1} \right)}}{2} = - 8\)

\({S_3} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = {S_2} + {u_3} \Rightarrow {u_3} = {S_3} - {S_2} = \frac{{3\left( { - 1 - 5.3} \right)}}{3} - \frac{{2\left( { - 1 - 5.2} \right)}}{2} = - 13\)

Vậy ba số hạng đầu của dãy số là \( - 3\), \( - 8\), \( - 13\).

b) Ta có

\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{n - 1}} + {u_n}\), \({S_{n - 1}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{n - 1}}\)

\( \Rightarrow {u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = \frac{{n\left( { - 1 - 5n} \right)}}{2} - \frac{{\left( {n - 1} \right)\left[ { - 1 - 5\left( {n - 1} \right)} \right]}}{2} = \frac{{n - 5{n^2}}}{2} - \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {4 - 5n} \right)}}{2}\)

\( = \frac{{n - 5{n^2} - \left( { - 4 + 5{n^2} + 9n} \right)}}{2} = \frac{{4 - 10n}}{2} = 2 - 5n\)

c) Xét \({u_n} - {u_{n - 1}} = \left( {2 - 5n} \right) - \left[ {2 - 5\left( {n - 1} \right)} \right] = \left( {2 - 5n} \right) - \left( {2 - 5n + 5} \right) = 5\).

Do \({u_n} - {u_{n - 1}} = 5\) là hằng số, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng.