Bài 52 trang 57 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có tất cả các số hạng đều không âm và \({u_2} = 6\)...

Đề bài :

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có tất cả các số hạng đều không âm và \({u_2} = 6\), \({u_4} = 24\). Tổng 10 số hạng đầu của \(\left( {{u_n}} \right)\) là:

A. \(3\left( {1 - {2^{10}}} \right)\)

B. \(3\left( {{2^9} - 1} \right)\)

C. \(3\left( {{2^{10}} - 1} \right)\)

D. \(3\left( {1 - {2^9}} \right)\)

Hướng dẫn giải :

Do tất cả các số hạng đều không âm nên công bội \(q\) không âm.

Sử dụng công thức \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\) để tìm công bội \(q\) và số hạng đầu \({u_1}\).

Sử dụng công thức \({S_n} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\) để tính tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số nhân.

Lời giải chi tiết :

Do tất cả các số hạng đều không âm nên công bội \(q\) không âm.

Ta có \({u_2} = {u_1}q\) và \({u_4} = {u_1}{q^3} = \left( {{u_1}q} \right){q^2}\)

Do \({u_2} = 6\), \({u_4} = 24\), ta suy ra \(6{q^2} = 24 \Rightarrow {q^2} = 4 \Rightarrow q = 2\) (do \(q\) không âm).

Từ đó, số hạng đầu \({u_1} = \frac{{{u_2}}}{q} = \frac{6}{2} = 3\).

Vậy tổng 10 số hạng đầu của \(\left( {{u_n}} \right)\) là:

\({S_{10}} = {u_1}\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = 3\frac{{1 - {2^{10}}}}{{1 - 2}} = 3\left( {{2^{10}} - 1} \right)\)

Đáp án đúng là C.