Bài 27 trang 46 SBT Toán lớp 7 Cánh diều: Cho hai đa thức: (F(x) = {x^4} + {x^3} - 3{x^2} + 2x - 9) và (G(x) =  - {x^4} + 2...

Đề bài :

Cho hai đa thức: \(F(x) = {x^4} + {x^3} - 3{x^2} + 2x - 9\) và \(G(x) =  - {x^4} + 2{x^2} - x + 8\)

a) Tìm đa thức H(x) sao cho H(x) = F(x) + G(x)

b) Tìm bậc của đa thức H(x)

c) Kiểm tra xem x = 0, x = 1, x = −1 có là nghiệm của đa thức H(x) hay không

d) Tìm đa thức K(x) sao cho H(x) - K(x) = \(\frac{1}{2}{x^2}\)

Phương pháp giải :

Bước 1: Thực hiện phép cộng hai đa thức một biến theo quy tắc để tìm H(x)

Bước 2: Tìm bậc của đa thức là số mũ cao nhất của biến

Bước 3: Tính \(H(0),H(1),H( - 1)\) rồi kết luận nghiệm của H(x)

Bước 4: Thực hiện phép trừ hai đa thức một biến theo quy tắc với \(K(x) = H(x) - \frac{1}{2}{x^2}\)

Lời giải chi tiết :

a) \(H(x) = F(x) + G(x) = \left( {{x^4} + {x^3} - 3{x^2} + 2x - 9} \right) + \left( { - {x^4} + 2{x^2} - x + 8} \right)\)

                               \( = {x^4} + {x^3} - 3{x^2} + 2x - 9 - {x^4} + 2{x^2} - x + 8\) \( = {x^3} - {x^2} + x - 1\)

Vậy \(H(x) = {x^3} - {x^2} + x - 1\)

b) Bậc của H(x) là 3

c) Ta có:

\(H(0) = {0^3} - {0^2} + 0 - 1 =  - 1 \ne 0 \Rightarrow x = 0\) không là nghiệm của H(x)

\(H(1) = {1^3} - {1^2} + 1 - 1 = 1 - 1 + 1 - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\) là nghiệm của H(x)

\(H( - 1) = {( - 1)^3} - {( - 1)^2} + ( - 1) - 1 =  - 1 - 1 - 1 - 1 =  - 4 \ne 0 \Rightarrow x =  - 1\) không là nghiệm của H(x)

d) H(x) - K(x) = \(\frac{1}{2}{x^2}\) \( \Rightarrow K(x) = H(x) - \frac{1}{2}{x^2} = ({x^3} - {x^2} + x - 1) - \frac{1}{2}{x^2}\)

                                         \( = {x^3} - {x^2} + x - 1 - \frac{1}{2}{x^2} = {x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + x - 1\)

Vậy \(K(x) = {x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + x - 1\)