Bài 6 trang 62 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Người ta cần sơn tất cả các mặt của một khối bê tông hình chóp cụt tứ giác đều...

Đề bài :

Người ta cần sơn tất cả các mặt của một khối bê tông hình chóp cụt tứ giác đều, đáy lớn có cạnh bằng 2m, đáy nhỏ có cạnh bằng 1m và cạnh bên bằng 2m (Hình 14). Tính tổng diện tích các bề mặt cần sơn.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về diện tích toàn phần của hình chóp cụt tứ giác đều: \(S = {S_{MB}} + {S_{ĐL}} + {S_{ĐN}}\) (MB: mặt bên, ĐL: đáy lớn, ĐN: đáy nhỏ)

Lời giải chi tiết :

Diện tích đáy lớn là: \({S_{ĐL}} = {2^2} = 4\left( {{m^2}} \right)\)

Diện tích đáy nhỏ là: \({S_{ĐN}} = {1^2} = 1\left( {{m^2}} \right)\)

Giả sử các mặt bên được đặt tên và có dạng như hình vẽ dưới đây:

Tính được \(AH = \frac{1}{2}m\). Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHD vuông tại H có:

\(DH = \sqrt {A{D^2} - A{H^2}} = \sqrt {{2^2} - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {15} }}{2}\left( m \right)\)

Tổng diện tích các mặt bên là:

\({S_{MB}} = 4{S_{ABCD}} = 4.\frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).DH = 3\sqrt {15} \left( {{m^2}} \right)\)

Tổng diện tích các mặt cần sơn là:

\(S = {S_{MB}} + {S_{ĐL}} + {S_{ĐN}} = 3\sqrt {15} + 4 + 1 = 3\sqrt {15} + 5\left( {{m^2}} \right)\)