Bài 4 trang 61 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O...

Đề bài :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Chứng minh rằng:

a) \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\);

b) \(\left( {SCD} \right) \bot \left( {SAD} \right)\);

c) \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\);

d) \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {AHK} \right)\).

Hướng dẫn giải :

+ Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

+ Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của hai mặt phẳng vuông góc: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với nhau mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

d) Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của hai mặt phẳng vuông góc: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết :

Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), và SA là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) nên \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)

a) Vì ABCD là hình vuông nên \(AB \bot BC\).

Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right),BC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\)

Do đó, \(BC \bot \left( {SAB} \right)\). Lại có: \(BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\)

b) Vì ABCD là hình vuông nên \(AD \bot DC\).

Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right),DC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot DC\)

Do đó, \(DC \bot \left( {SAD} \right)\). Lại có: \(DC \subset \left( {SDC} \right) \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {SAD} \right)\)

c) Vì ABCD là hình vuông nên \(AC \bot DB\).

Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right),DB \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot DB\)

Do đó, \(DB \bot \left( {SAC} \right)\). Lại có: \(DB \subset \left( {SDB} \right) \Rightarrow \left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\)

d) Vì \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\), SB là giao tuyến của (SBC) và (SAB), \(AH \bot SB\) nên \(HA \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\)

Vì \(\left( {SCD} \right) \bot \left( {SAD} \right)\), SD là giao tuyến của (SDC) và (SAD), \(AK \bot SD\) nên \(KA \bot \left( {SDC} \right) \Rightarrow AK \bot SC\)

Do đó, \(SC \bot \left( {AHK} \right)\). Mà \(SC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {AHK} \right)\)