Bài 5 trang 20 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của x...

Đề bài :

Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của x.

a) \({\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);

b) \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về công thức lượng giác để tính:

a) \(\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right)} \right]\), \(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\)

b) \(\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right)} \right]\)

Lời giải chi tiết :

a) \({\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) \) \(= {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos 2x} \right) \) \(= {\sin ^2}x - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2x\)

\(= {\sin ^2}x - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) \) \(= \frac{1}{4}\)

Vậy giá trị của biểu thức \({\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\) không phụ thuộc vào giá trị của x.

b) \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)\)

\(= \frac{1}{2}\left[ {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + \cos \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right] + \frac{1}{2}\left[ {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + \cos \left( {2x + \frac{{11\pi }}{{12}}} \right)} \right]\)

\(= \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \cos \left( {2x + \pi - \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right] + \cos \frac{{7\pi }}{{12}}\)

\(= \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right) - \cos \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right] + \cos \frac{{7\pi }}{{12}} \) \(= \cos \frac{{7\pi }}{{12}}\)

Vậy giá trị của biểu thức \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)\) không phụ thuộc vào giá trị của x.