Giải mục 2 trang 95, 96, 97 Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Cho hai biến cố xung khắc \(A\) và \(B\)...

Câu hỏi:

Cho hai biến cố xung khắc \(A\) và \(B\). Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) và 12 kết quả thuận lợi cho biến cố \(B\). Hãy so sánh \(P\left( {A \cup B} \right)\) với \(P\left( A \right) + P\left( B \right)\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng công thức tính xác suất: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega\right)}}\).

Lời giải chi tiết :

Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A \cup B\) là \(5 + 12 = 17\).

\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{n\left( \Omega \right)}};P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega\right)}} = \frac{{12}}{{n\left( \Omega\right)}};P\left( {A \cup B} \right) = \frac{{n\left( {A \cup B} \right)}}{{n\left( \Omega\right)}} = \frac{{17}}{{n\left( \Omega\right)}}\)

\( \Rightarrow P\left( A \right) + P\left( B \right) = P\left( {A \cup B} \right)\)

Câu hỏi:

Hãy trả lời câu hỏi ở Hoạt động mở đầu.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng quy tắc cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc: Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) xung khắc. Khi đó: \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).

Lời giải chi tiết :

Gọi \(A\) là biến cố “Hạt giống thứ nhất nảy mầm”, \(B\) là biến cố “Hạt giống thứ hai nảy mầm”.

\(P\left( A \right) = P\left( B \right) = 0,8 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = P\left( {\bar B} \right) = 1 - 0,8 = 0,2\)

Xác suất để có đúng 1 trong 2 hạt giống đó nảy mầm là:

\(P\left( {A\bar B} \right) + P\left( {\bar AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {\bar B} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( B \right) = 0,8.0,2 + 0,2.0,8 = 0,32\)

Câu hỏi:

Rút ngẫu nhiên 1 lá bài từ bộ bài tây 52 lá. Tính xác suất của biến cố “Lá bài được chọn có màu đỏ hoặc là lá có số chia hết cho 5”.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng công thức tính xác suất: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\).

Lời giải chi tiết :

Gọi \(A\) là biến cố “Lá bài được chọn có màu đỏ hoặc là lá có số chia hết cho 5”

Rút ngẫu nhiên 1 lá bài từ bộ bài tây 52 lá có 52 cách \( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 52\)

Số lá bài có màu đỏ hoặc có số chia hết cho 5 là 30 lá \( \Rightarrow n\left( A \right) = 30\)

\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega\right)}} = \frac{{30}}{{52}} = \frac{{15}}{{26}}\)

Câu hỏi:

Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập với nhau. Biết \(P\left( A \right) = 0,9\) và \(P\left( B \right) = 0,6\). Hãy tính xác suất của biến cố \(A \cup B\).

Hướng dẫn giải :

‒ Sử dụng quy tắc nhân xác suất: Nếu hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập thì \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right)\).

‒ Sử dụng quy tắc cộng cho hai biến cố bất kì: Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Khi đó: \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).

Lời giải chi tiết :

Vì hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập với nhau nên \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,9.0,6 = 0,54\).

Vậy \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,9 + 0,6 - 0,54 = 0,96\).

Câu hỏi:

Khảo sát một trường trung học phổ thông, người ta thấy có 20% học sinh thuận tay trái và 35% học sinh bị cận thị. Giả sử đặc điểm thuận tay nào không ảnh hưởng đến việc học sinh có bị cận thị hay không. Gặp ngẫu nhiên một học sinh của trường. Tính xác suất của biến cố học sinh đó bị cận thị hoặc thuận tay trái.

Hướng dẫn giải :

‒ Sử dụng quy tắc nhân xác suất: Nếu hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập thì \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right)\).

‒ Sử dụng quy tắc cộng cho hai biến cố bất kì: Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Khi đó: \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).

Lời giải chi tiết :

Gọi \(A\) là biến cố “Học sinh thuận tay trái”, \(B\) là biến cố “Học sinh bị cận thị”.

Vậy \(A \cup B\) là biến cố “Học sinh bị cận thị hoặc thuận tay trái”

Ta có: \(P\left( A \right) = 0,2;P\left( B \right) = 0,35\).

Vì đặc điểm thuận tay nào không ảnh hưởng đến việc học sinh có bị cận thị hay không nên \(A\) và \(B\) độc lập với nhau. Do đó \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,2.0,35 = 0,07\).

Vậy xác suất của biến cố học sinh đó bị cận thị hoặc thuận tay trái là:

\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,2 + 0,35 - 0,07 = 0,48\).