Giải mục 3 trang 87, 88 Toán 9 Chân trời sáng tạo tập 1: Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại điểm...

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 87

Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại điểm A (Hình 10).

a) Chứng minh hai tam giác ABO và ACO bằng nhau.

b) Tìm các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau trong Hình 10.

Hướng dẫn giải :

- Dựa vào chứng minh 2 tam giác bằng nhau theo cạnh – góc – cạnh.

- Vì 2 tam giác bằng nhau nên các góc và các cạnh trong tam giác bằng nhau.

Lời giải chi tiết :

a) Xét tam giác ABO và ACO có:

\(\widehat {ABO} = \widehat {ACO} = {90^o}\)

AO chung

OB = OC = R

Suy ra \(\Delta \)ABO = \(\Delta \)ACO (c.g.c)

b) Theo Hình 10, ta có: \(\Delta \)ABO = \(\Delta \)ACO

suy ra AB = AC; BO = CO

\(\begin{array}{l}\widehat {ABO} = \widehat {ACO} = {90^o}\\\widehat {BAO} = \widehat {CAO}\\\widehat {AOB} = \widehat {AOC}\end{array}\)

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 87

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (I; 6 cm) và ME, MF là hai tiếp tuyến của đường tròn này tại E và F. Cho biết \(\widehat {EMF} = {60^o}\).

a) Tính số đo \(\widehat {EMI}\) và \(\widehat {EIF}\) .

b) Tính độ dài MI.

Hướng dẫn giải :

- Dựa vào dữ kiện đề bài để vẽ hình.

- Dựa vào định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại 1 điểm thì tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến để tính \(\widehat {EMI}\). Tính \(\widehat {EIF}\) dựa vào tính chất trong một tứ giác tổng các góc bằng 360^o.

- Tính MI áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông MIE: Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có hai tiếp tuyến ME và MF cắt nhau tại M nên MI là tia phân giác \(\widehat {EMF}\).

Suy ra \(\widehat {EMI} = \frac{{\widehat {EMF}}}{2} = \frac{{{{60}^o}}}{2} = {30^o}\).

Xét tứ giác MEFI ta có

\(\begin{array}{l}\widehat {EIF} = {360^o} - (\widehat {EMF} + \widehat {MFI} + \widehat {MEI})\\ = {360^o} - (\widehat {EMF} + 2\widehat {MFI})\\ = {360^o} - ({60^o} + {2.90^o})\\ = {120^o}\end{array}\)

b) Xét tam giác MEI vuông tại E, MI = 6 cm; \(\widehat {EMI} = {30^o}\) ta có

sin \(\widehat {EMI}\) = \(\frac{{EI}}{{MI}}\) suy ra MI = \(\frac{{EI}}{{\sin \widehat {EMI}}} = \frac{6}{{\sin {{30}^o}}} = 12\)cm.

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 88

Tìm giá trị x trong Hình 12.

Hướng dẫn giải :

Chứng minh hai tam giác ABD = tam giác BCD theo trường hợp cạnh huyền, cạnh góc vuông.

Sau đó suy ra AB = BC để tìm x.

Lời giải chi tiết :

Nối B với D.

Xét tam giác ABD và tam giác BCD có:

BD chung

CD = AD

\(\widehat {BAD} = \widehat {BCD} = {90^0}\)

Suy ra \(\Delta \)ABD = \(\Delta \)BCD (c.g.c)

Nên AB = BC hay 4x – 9 = 15 suy ra x = 6.

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 88

Bánh đà của một động cơ được thiết kế có dạng một đường tròn tâm O, bán kính 15 cm được kéo bởi một dây curoa. Trục của mô tơ truyền lực được biểu diễn bởi điểm M (Hình 13). Cho biết khoảng cách OM là 35 cm.

a) Tính độ dài của hai đoạn dây curoa MA và MB (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

b) Tính số đo \(\widehat {AMB}\) tạo bởi hai tiếp tuyến AM, BM và số đo \(\widehat {AOB}\) (kết quả làm tròn đến phút).

Hướng dẫn giải :

- Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AOM vuông tại A để tính MA suy ra MB.

- Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông AMO: Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tan. Sau đó dùng máy tính bấm ra góc \(\widehat {AMO}\) suy ra góc \(\widehat {AMB}\). Tính \(\widehat {AOB}\) bằng cách dựa vào tính chất trong một tứ giác tổng các góc bằng 360^o.

Lời giải chi tiết :

a) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AOM vuông tại A, ta có:

MA = \(\sqrt {O{M^2} - O{A^2}} = \sqrt {{{35}^2} - {{15}^2}} = 31,6cm\)

TA có: \(\Delta \)MAO = \(\Delta \)MBO (c.g.c)

Suy ra MA = MB = 31,6 cm.

b) Ta có \(\widehat {AMB}\) tạo bởi hai tiếp tuyến AM, BM có MO là phân giác nên

\(\widehat {AMB}\) = 2\(\widehat {AMO}\).

Xét tam giác AOM vuông tại A, ta có:

tan \(\widehat {AMO}\) = \(\frac{{AO}}{{AM}} = \frac{{15}}{{35}} = \frac{3}{7}\)

suy ra \(\widehat {AMO} \approx {23^o}11’\) nên \(\widehat {AMB}\)= 2\(\widehat {AMO} \approx {46^o}23’\)

\(\begin{array}{l}\widehat {AOB} = {360^o} - (2\widehat {AOM} + \widehat {AMB})\\ = {360^o} - ({2.90^o} + {23^o}11′)\\ = {156^o}49’\end{array}\)