Bài 7.18 trang 50 Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá: Một vật dao động điều hòa có phương trình \(x = 4\cos \pi t\) (\(x\) tính bằng \(cm\)...

Đề bài :

Một vật dao động điều hòa có phương trình \(x = 4\cos \pi t\) (\(x\) tính bằng \(cm\), \(t\) tính bằng giây).

a) Tính vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 0,75\) giây

b) Tìm thời điểm đầu tiên vật có gia tốc lớn nhất.

Hướng dẫn giải :

a) Vận tốc chính là đạo hàm của \(x\)

Áp dụng công thức \(\left( {\cos u} \right)’ = - u’.\sin u;\,\,\,\left( {\sin u} \right)’ = u’.\cos u\)

b) Gia tốc là đạo hàm cấp hai của \(x\)

Áp dụng công thức \( - 1 \le \sin u \le 1;\,\, - 1 \le \cos u \le 1\)

Lời giải chi tiết :

a) Vận tốc của vật là \(v = x’ = \left( {4\cos \pi t} \right)’ = - 4\sin \pi t.\left( {\pi t} \right)’ = - 4\pi \sin \pi t\)

Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 0,75\) giây là \(v\left( {0,75} \right) = - 4\pi .\sin 0,75\pi = - 2\sqrt 2 \pi \)

b) Gia tốc của vật là \(a = x” = \left( { - 4\pi \sin \pi t} \right)’ = - 4\pi \cos \pi t.\left( {\pi t} \right)’ = - 4{\pi ^2}\cos \pi t\)

Ta có \( - 1 \le \cos \pi t \le 1 \Leftrightarrow 4{\pi ^2} \ge - 4{\pi ^2}\cos \pi t \ge - 4{\pi ^2} \Leftrightarrow 4{\pi ^2} \ge a \ge - 4{\pi ^2}\)

Vậy gia tốc lớn nhất bằng \(a = 4{\pi ^2}\) khi \(\cos \pi t = - 1\)

Vậy tại thời điểm đầu tiên là \(t = 1\) thì vật có gia tốc lớn nhất