Bài 6.11 trang 19 Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá: Cho đồ thị của hai hàm số \(y = {\log _a}x\); \(y = {\log _b}x\) lần lượt là (C1) và...

Đề bài :

Cho đồ thị của hai hàm số \(y = {\log _a}x\); \(y = {\log _b}x\) lần lượt là (C₁) và (C₂) (Hình 6.16). Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b, biết mọi đường thẳng song song với trục tung, cắt trục hoành, (C₁), (C₂) lần lượt tại H, A, B thì A là trung điểm của BH.

Hướng dẫn giải :

A là trung điểm của BH nên \({y_B} = 2{y_A}\)

Theo đồ thị trên hình vẽ thì \({x_A} = {x_B} = {x_H}\)

Áp dụng: \({\log _a}b = c \Leftrightarrow {a^c} = b\).

Lời giải chi tiết :

Gọi điểm \(H\left( {{x_H};0} \right)\), \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\), \(B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\)

A là trung điểm của BH nên \({y_B} = 2{y_A}\)

Theo đồ thị trên hình vẽ thì \({x_A} = {x_B} = {x_H}\)

Ta có điểm A thuộc (C₁) nên \({y_A} = {\log _a}{x_A} \Leftrightarrow {a^{{y_A}}} = {x_A}\)

Điểm B thuộc (C₂) nên \({y_B} = {\log _b}{x_B} \Leftrightarrow {b^{{y_B}}} = {x_B} \Leftrightarrow {b^{2{y_A}}} = {x_A}\)

\( \Rightarrow {\left( {{b^2}} \right)^{{y_A}}} = {a^{{y_A}}} \Leftrightarrow {b^2} = a\)