Mục 3 trang 47, 48, 49 Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) mà \({u_n} = 1 + \frac{1}{n}\) và \({v_n} =...

Câu hỏi:

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) mà \({u_n} = 1 + \frac{1}{n}\) và \({v_n} = 2 - \frac{1}{n}\) (n là số nguyên dương).

a) So sánh \({u_{n + 1}}\) và \({u_n}\).

b) So sánh \({v_{n + 1}}\) và \({v_n}\).

Hướng dẫn giải :

Thay n = n + 1 vào công thức tổng quát của dãy số. So sánh \({u_{n + 1}} - {u_n}\), \({v_{n + 1}} - {v_n}\) với 0.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = 1 + \frac{1}{{n + 1}} - 1 - \frac{1}{n} = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = \frac{{n - \left( {n + 1} \right)}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{ -1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\)

Mà n là số nguyên dương nên \(\frac{ -1}{{n\left( {n + 1} \right)}}

b) Ta có: \({v_{n + 1}} - {v_n} = 2 - \frac{1}{{n + 1}} - 2 + \frac{1}{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{{n + 1 - n}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\)

Mà n là số nguyên dương nên \(\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} > 0 \Rightarrow {v_{n + 1}} - {v_n} > 0 \Rightarrow {v_{n + 1}} > {v_n}\).

Câu hỏi:

Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi \({u_n} = \frac{{n - 2}}{{3n - 1}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) là một dãy số tăng.

Hướng dẫn giải :

So sánh \({u_{n + 1}}\) và \({u_n}\). Nếu \({u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\) thì là dãy số tăng.

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} = \frac{{n + 1 - 2}}{{3(n + 1) - 1}} = \frac{{n - 1}}{{3n + 2}}\\{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n - 1}}{{3n + 2}} - \frac{{n - 2}}{{3n - 1}} = \frac{5}{{9{n^2} + 3n - 2}}\\9{n^2} + 3n - 2 > 0\forall n \ge 1 \Rightarrow \frac{5}{{9{n^2} + 3n - 2}} > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} > 0\end{array}\)

\(\Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\)

Vậy dãy số đã cho là một dãy số tăng.

Câu hỏi:

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{n + 1}}\)

a) So sánh n + 1 và \(2\sqrt n \) .

b) Suy ra: \({u_n} \le \frac{1}{2}\), với mọi số nguyên dương n.

Hướng dẫn giải :

a) So sánh \(n + 1 - 2\sqrt n \) với 0.

b) Áp dụng phần a.

Lời giải chi tiết :

a) \(n + 1 - 2\sqrt n = {\left( {\sqrt n - 1} \right)^2} \ge 0\forall n \Rightarrow n + 1 \ge 2\sqrt n \)

b) \(n + 1 \ge 2\sqrt n \Rightarrow \frac{{\sqrt n }}{{n + 1}} \le \frac{{\sqrt n }}{{2\sqrt n }} = \frac{1}{2} \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{2}\forall n\) nguyên dương

Câu hỏi:

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n - 1}}{{n + 2}}\), với n là số nguyên dương.

a) Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) tăng.

b) Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

Hướng dẫn giải :

a) So sánh \({u_{n + 1}}\) và \({u_n}\). Nếu \({u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\) thì là dãy số tăng.

b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn khi \(m \le {u_n} \le M\forall n\) nguyên dương.

Lời giải chi tiết :

a)

\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{n - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{3}{{n + 2}}\\{u_{n + 1}} - {u_n} = 1 - \frac{3}{{n + 3}} - \left( {1 - \frac{3}{{n + 2}}} \right) = \frac{3}{{n + 2}} - \frac{3}{{n + 3}} = 3\left( {\frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}}} \right)\\n + 2 \frac{1}{{n + 3}} \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}} > 0 \Leftrightarrow 3\left( {\frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}}} \right) > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\end{array}\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

b) n là số nguyên dương \( \Rightarrow n \ge 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n - 1 \ge 0\\n + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{n - 1}}{{n + 2}} \ge 0\)

\(n - 1

\( \Rightarrow 0 \le \frac{{n - 1}}{{n + 2}}

Vậy dãy số đã cho là dãy số bị chặn.

Câu hỏi:

Trong một trò chơi của trẻ em, các em nhỏ dùng các viên bi để xếp thành các hình tam giác F_n. Dãy các hình xếp (F_n) tuân theo một quy luật được mô tả trong Hình 2.2. Trong đó F₁ chỉ có 1 viên bi, thêm 2 viên bi để được tam giác đều là hình F₂, thêm 3 viên bi thẳng hàng và song song với một cạnh của F₂ để được tam giác đều F₃,… Gọi (u_n) là dãy số mà u_n là số viên bi cần dùng để xếp được hình F_n \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Chẳng hạn \({u_1} = 1,{u_2} = 3,{u_3} = 6\),…

a) Viết sáu số hạng đầu tiên của dãy số (u_n).

b) Dự đoán công thức truy hồi để tính u_n.

Hướng dẫn giải :

Số hạng đứng sau hơn số hạng đứng trước đúng một số bằng số thứ tự của số hạng đứng sau.

Lời giải chi tiết :

a) \({u_1} = 1,{u_2} = 3,{u_3} = 6,{u_4} = 6 + 4 = 10,{u_5} = 10 + 5 = 15,{u_6} = 15 + 6 = 21\)

b) Công tính truy hồi: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + n + 1\end{array} \right.\)