Bài 2 trang 93 Toán 12 tập 1 - Cánh diều: Thành phố nào có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn?...

Đề bài :

Bảng 22, Bảng 23 lần lượt biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình các tháng năm 2021 tại Hà Nội và Huế (đơn vị: độ C)

a) Tính khoảng biến thiên, khoàng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của Hà Nội và Huế.

b) Trong hai thành phố Hà Nội và Huế, thành phố nào có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn?

Hướng dẫn giải :

a) Khoảng biến thiên là hiệu của đầu mút phải nhóm cuối cùng và đầu mút trái nhóm đầu tiên

Khoảng tứ phân vị là \({Q_3} - {Q_1}\)

Phương sai: \({s^2} = \frac{{{n_1}.{{({x_1} - \overline x )}^2} + {n_2}{{({x_2} - \overline x )}^2} + ... + {n_p}{{({x_p} - \overline x )}^2}}}{n}\)

Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {{s^2}} \)

b) Thành phố nào có độ lệch chuẩn của nhiệt độ nhỏ hơn thì nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn

Lời giải chi tiết :

a) – Xét số liệu ở Hà Nội:

+ Khoảng biến thiên: R = 31,8 – 16,8 = 15

+ Số phần tử của mẫu là n = 12

Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là \(c{f_1} = 2\), \(c{f_2} = 5\), \(c{f_3} = 7\), \(c{f_4} = 8\), \(c{f_5} = 12\)

Ta có: \(\frac{n}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\) mà 2 < 3 < 5 suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 3. Xét nhóm 2 là nhóm [19,8;22,8) có s = 19,8, h = 3, \({n_2} = 3\)và nhóm 1 là nhóm [16,8;19,8) có \(c{f_1} = 2\)

Ta có tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = s + \left( {\frac{{3 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right).h = 19,8 + \left( {\frac{{3 - 2}}{3}} \right).3 = 20,8\)

Ta có: \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.12}}{4} = 9\) mà 8 < 9 < 12 suy ra nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 9. Xét nhóm 5 là nhóm [28,8;31,8) có t = 28,8, l = 3, \({n_5} = 4\)và nhóm 4 là nhóm [25,8;28,8) có \(c{f_4} = 8\)

Ta có tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = t + \left( {\frac{{9 - c{f_4}}}{{{n_5}}}} \right).l = 28,8 + \left( {\frac{{9 - 8}}{4}} \right).3 = 29,55\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \({Q_3} - {Q_1} = 29,55 - 20,8 = 8,75\)

+ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(\overline {{x_1}} = \frac{{2.18,3 + 3.21,3 + 2.24,3 + 27,3 + 4.30,3}}{{12}} = 24,8\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({s_1}^2 = \frac{{2{{(18,3 - 24,8)}^2} + 3{{(21,3 - 24,8)}^2} + 2{{(24,3 - 24,8)}^2} + {{(27,3 - 24,8)}^2} + 4{{(30,3 - 24,8)}^2}}}{{12}} = 20,75\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({s_1} = \sqrt {{s_1}^2} = \sqrt {20,75} \approx 4,56\)

– Xét số liệu ở Đà Lạt:

+ Khoảng biến thiên: R = 31,8 – 16,8 = 15

+ Số phần tử của mẫu là n = 12

Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là \(c{f_1} = 1\), \(c{f_2} = 3\), \(c{f_3} = 6\), \(c{f_4} = 8\), \(c{f_5} = 12\)

Ta có: \(\frac{n}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\) suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 3. Xét nhóm 2 là nhóm [19,8;22,8) có s = 19,8, h = 3, \({n_2} = 2\) và nhóm 1 là nhóm [16,8;19,8) có \(c{f_1} = 1\)

Ta có tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = s + \left( {\frac{{3 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right).h = 19,8 + \left( {\frac{{3 - 1}}{2}} \right).3 = 22,8\)

Ta có: \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.12}}{4} = 9\) mà 8 < 9 < 12 suy ra nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 9. Xét nhóm 5 là nhóm [28,8;31,8) có t = 28,8, l = 3, \({n_5} = 4\)và nhóm 4 là nhóm [25,8;28,8) có \(c{f_4} = 8\)

Ta có tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = t + \left( {\frac{{9 - c{f_4}}}{{{n_5}}}} \right).l = 28,8 + \left( {\frac{{9 - 8}}{4}} \right).3 = 29,55\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \({Q_3} - {Q_1} = 29,55 - 22,8 = 6,75\)

+ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(\overline {{x_2}} = \frac{{18,3 + 2.21,3 + 3.24,3 + 2.27,3 + 4.30,3}}{{12}} = 25,8\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({s_2}^2 = \frac{{{{(18,3 - 25,8)}^2} + 3{{(21,3 - 25,8)}^2} + 3{{(24,3 - 25,8)}^2} + 2{{(27,3 - 25,8)}^2} + 4{{(30,3 - 25,8)}^2}}}{{12}} = 15,75\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({s_2} = \sqrt {{s_2}^2} = \sqrt {15,75} \approx 3,97\)

b) Huế có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn vì độ lệch chuẩn nhỏ hơn