Giải mục 1 trang 5, 6, 7 Toán 12 tập 1 - Cánh diều: Phương trình \(f’\left( x \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm ?...

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 5

a) Nêu định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên tập \(K \subset \mathbb{R}\), trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

b) Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) có đồ thị như Hình 2.

- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đó.

- Xét dấu đạo hàm \(f’\left( x \right) = 2x\).

- Nêu mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\) và dấu của đạo hàm \(f’\left( x \right) = 2x\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right),\left( {0; + \infty } \right)\).

- Hoàn thành bảng biến thiên sau:

Hướng dẫn giải :

Dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập K

Lời giải chi tiết :

a) Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và \(f\left( x \right)\) là hàm số xác định trên K.

- Hàm số \(f\left( x \right)\) được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi \({x_1},{x_2}\) thuộc K và \({x_1} < {x_2}\) thì \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).

- Hàm số \(f\left( x \right)\) được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi \({x_1},{x_2}\) thuộc K và \({x_1} < {x_2}\) thì \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K còn được gọi là hàm số đơn điệu trên K.

b)

- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

- Đạo hàm \(f’\left( x \right) = 2x\)âm khi \(x < 0\) và dương khi \(x > 0\).

- Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) nghịch biến khi \(f’\left( x \right) = 2x\)mang dấu âm và đồng biến khi \(f’\left( x \right) = 2x\) mang dấu dương.

- Ta có bàng biến thiên sau:

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 6

Xét dấu \(y’\) rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số\(y = \frac{4}{3}{x^3} - 2{x^2} + x - 1\).

Hướng dẫn giải :

B1: Tính \(y’\)rồi lập bảng xét dấu của \(y’\).

B2. Dựa vào bảng xét dấu của \(y’\) để nhận xét khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết :

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y’ = 4{x^2} - 4x + 1\).

Xét \(y’ = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).

Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 7

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y = {x^4} + 2{x^2} - 3\).

Hướng dẫn giải :

B1: Tìm tập xác định của hàm số.

B2: Tính \(y’\). Tìm các điểm mà tại đó \(y’ = 0\) hoặc \(y’\) không tồn tại.

B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.

B4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Lời giải chi tiết :

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y’ = 4{x^3} + 4x\).

Xét \(y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 7

a) Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\).

b) Xét dấu của đạo hàm \(f’\left( x \right) = 3{x^2}\).

c) Phương trình \(f’\left( x \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm ?

Hướng dẫn giải :

Dựa vào định nghĩa đồng biến, nghịch biến của hàm số và các bước xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Lời giải chi tiết :

a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y’ = 3{x^2}\).

Xét \(y’ = 0 \Rightarrow x = 0\).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

b) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đạo hàm \(y’ = 3{x^2}\) luôn dương với mọi x.

c) Phương trình \(f’\left( x \right) = 0\) có một nghiệm.

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 7

Chứng minh rằng hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \) nghịch biến trên nửa khoảng \(( - \infty ;0]\) và đồng biến trên nửa khoảng \([0; + \infty )\).

Hướng dẫn giải :

B1: Tìm tập xác định của hàm số.

B2: Tính \(y’\). Tìm các điểm mà tại đó \(y’ = 0\) hoặc \(y’\) không tồn tại.

B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.

B4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Lời giải chi tiết :

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y’ = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

Xét \(y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \) nghịch biến trên nửa khoảng \(( - \infty ;0]\) và đồng biến trên nửa khoảng \([0; + \infty )\).

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 8

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số sau \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\).

Hướng dẫn giải :

B1: Tìm tập xác định của hàm số.

B2: Tính \(y’\). Tìm các điểm mà tại đó \(y’ = 0\) hoặc \(y’\) không tồn tại.

B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.

B4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Lời giải chi tiết :

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Ta có: \(y’ = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

Nhận xét: \(y’ > 0\) với mọi \(x \in D\).

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).