Bài 46 trang 84 SBT Toán 11 - Cánh diều: Một bể chứa 5000\(l\) nước tinh khiết...

Đề bài :

Một bể chứa 5000\(l\) nước tinh khiết. Nước muối có chứa 30 gam muối trên mỗi lít nước được bơm vào bể với tốc độ 25\(l\)/phút.

a) Chứng minh rằng nồng độ muối của nước trong bể sau \(t\) phút (tính bằng khối lượng muối chia thể tích nước trong bể, đơn vị: g/\(l\)) là \(C\left( t \right) = \frac{{30t}}{{200 + t}}\).

b) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } C\left( t \right)\) và cho biết ý nghĩa của kết quả đó.

Hướng dẫn giải :

a) Tính khối lượng muối được bơm vào bể sau \(t\) phút, từ đó tính được nồng độ muối trong bể.

b) Từ kết quả câu a, sử dụng các tính chất về giới hạn hàm số và kết luận.

Lời giải chi tiết :

a) Sau \(t\) phút, lượng nước muối được bơm thêm vào bể là \(25t\) (lít).

Suy ra thể tích nước trong bể sau khi bơm thêm \(t\) phút là \(5000 + 25t\) (lít)

Do mỗi lít nước được bơm thêm có chứa 30 gam muối, nên lượng muối được bơm thêm vào bể là \(30.25t = 750t\) (gam).

Vậy nồng độ muối trong bể sau khi bơm nước muối một khoảng thời gian \(t\) phút là: \(C\left( t \right) = \frac{{750t}}{{5000 + 25t}} = \frac{{30t}}{{200 + t}}\) (\(g/l\)) (điều phải chứng minh).

b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } C\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30t}}{{200 + t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30t}}{{t\left( {\frac{{200}}{t} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30}}{{\frac{{200}}{t} + 1}}\)

\( = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } 30}}{{\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{200}}{t} + \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } 1}} = \frac{{30}}{{0 + 1}} = 30\).

Điều này có nghĩa là, khi bơm thêm nước muối vào trong bể đến vô hạn thì nồng độ muối trong bể sẽ tăng dần đến giá trị \(30\left( {g/l} \right)\), tức là bằng với nồng độ muối của loại nước muối được bơm thêm vào bể.