Bài 70 trang 32 SBT Toán 11 - Cánh diều: Chứng minh mỗi đẳng thức sau là đúng: \(\sin {45^o}. \cos {30^o} + \cos \left( { - {{45}^o}} \right)...

Đề bài :

Chứng minh mỗi đẳng thức sau là đúng:

a) \(\sin {45^o}.\cos {30^o} + \cos \left( { - {{45}^o}} \right).\sin \left( { - {{30}^o}} \right) = \sin {15^o}\)

b) \(\tan \frac{{9\pi }}{{20}} = \frac{{1 + \tan \frac{\pi }{5}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{5}}}\)

Hướng dẫn giải :

a) Sử dụng công thức \(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \sin b\cos a\)

b) Sử dụng công thức \(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\)

Lời giải chi tiết :

a) Ta có:

\(\sin {45^o}.\cos {30^o} + \cos \left( { - {{45}^o}} \right).\sin \left( { - {{30}^o}} \right) = \sin {45^o}.\cos {30^o} + \cos {45^o}.\left( { - \sin {{30}^o}} \right)\)

\( = \sin {45^o}.\cos {30^o} - \cos {45^o}.\sin {30^o} = \sin \left( {{{45}^o} - {{30}^o}} \right) = \sin {15^o}\)

Bài toán được chứng minh.

b) Ta có:

\(\tan \frac{{9\pi }}{{20}} = \tan \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{5}} \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} + \tan \frac{\pi }{5}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{4}.\tan \frac{\pi }{5}}} = \frac{{1 + \tan \frac{\pi }{5}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{5}}}\) (Điều phải chứng minh)