Giải mục 4 trang 63 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Quan sát dãy số \((u_n)\) với \(u_­n = n^2\) và cho biết giá trị của n có thể...

Câu hỏi:

Quan sát dãy số \((u_n)\) với \(u_­n = n^2\) và cho biết giá trị của n có thể lớn hơn một số dương bất kì được hay không kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Hướng dẫn giải :

Xác định các giá trị của dãy số dựa vào công thức tính số hạng tổng quát.

Lời giải chi tiết :

Ta có bảng giá trị sau:

Từ đó ta có các nhận xét sau:

+) Kể từ số hạng thứ 2 trở đi thì \(u_n > 1\) .

+) Kể từ số hạng thứ 101 trở đi thì \(u_n > 10 000\).

...

Vậy ta thấy \(u_n\) có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Câu hỏi:

Tính \(\lim \left( { - {n^3}} \right).\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng định nghĩa về dãy số có giới hạn vô cực.

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( + \infty \) khi \(n \to + \infty \) nếu \({u_n}\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = + \infty \) hay \({u_n} \to + \infty \) khi \(n \to + \infty \).

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( - \infty \) khi \(n \to + \infty \) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {u_n}} \right) = + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = - \infty \) hay \({u_n} \to - \infty \) khi \(n \to + \infty \).

Lời giải chi tiết :

Xét dãy \(\left( {{u_n}} \right) = {n^3}\)

Với M là số dương bất kì, ta thấy \({u_n} > M \Leftrightarrow {n^3} > M \Leftrightarrow n > \sqrt[3]{M}.\)

Vậy với các số tự nhiên \(n > \sqrt[3]{M}\) thì \({u_n} > M.\) Do đó, \(\lim {n^3} = + \infty \Rightarrow \lim \left( { - {n^3}} \right) = - \infty \)

Câu hỏi:

Chứng tỏ rằng \(\lim \frac{{n - 1}}{{{n^2}}} = 0.\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng lý thuyết một số giới hạn cơ bản: \(\lim \frac{1}{n} = 0;\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với k là số nguyên dương cho trước.

Lời giải chi tiết :

\(\lim \frac{{n - 1}}{{{n^2}}} = \lim \left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \lim \frac{1}{n} - \lim \frac{1}{{{n^2}}} = 0\)