Giải mục 1 trang 66, 67, 68, 69 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2x. \) Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right)...

Câu hỏi:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2x.\)

a) Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right),\) với \({x_n} = 1 + \frac{1}{n}.\) Hoàn thành bảng giá trị \(f\left( {{x_n}} \right)\) tương ứng.

Các giá trị tương ứng của hàm số \(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),...\) lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là \(\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right).\) Tìm \(\lim f\left( {{x_n}} \right).\)

b) Chứng minh rằng với dãy số bất kì \(\left( {{x_n}} \right),{x_n} \to 1\) ta luôn có \(f\left( {{x_n}} \right) \to 2.\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng định lí về giới hạn hữu hạn kết hợp với một số giới hạn cơ bản.

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = b\) thì

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n} \pm {v_n}) = a \pm b\)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n}.{v_n}) = a.b\)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\)

Lời giải chi tiết :

a,

\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {2.\frac{{n + 1}}{n}} \right) = \lim 2.\lim \left( {1 + \frac{1}{n}} \right) = 2.\left( {1 + 0} \right) = 2\)

b) Lấy dãy số bất kì \(\left( {{x_n}} \right),{x_n} \to 1\) ta có \(f\left( {{x_n}} \right) = 2{x_n}.\)

\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {2{x_n}} \right) = \lim 2.\lim {x_n} = 2.1 = 2\)

Câu hỏi:

Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} = 4.\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho khoảng K chứa điểm \({x_0}\)và hàm số \(f(x)\)xác định trên K hoặc trên \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\). Hàm số \(f(x)\)có giới hạn là số L khi \(x\) dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì, \({x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \({x_n} \to {x_0}\), ta có\(f({x_n}) \to L\)

Lời giải chi tiết :

Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \(\lim {x_n} = 2.\)

Ta có \(\lim x_n^2 = {2^2} = 4\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} = 4.\)

Câu hỏi:

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 1,g\left( x \right) = x + 1.\)

a) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\)

b) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\)và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\)

c) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\)và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\)

d) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]\)và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\)

e) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\)và so sánh \(\frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)}}.\)

Hướng dẫn giải :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0};\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c\)

Lời giải chi tiết :

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^2} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 1 = {1^2} - 1 = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 1 = 1 + 1 = 2\)

b) \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + x} \right) = {1^2} + 1 = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 0 + 2 = 2\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\end{array}\)

c) \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} - x - 2} \right) = {1^2} - 1 - 2 = - 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 0 - 2 = - 2\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\end{array}\)

d) \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^3} + {x^2} - x - 1} \right) = {1^3} + {1^2} - 1 - 1 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 0.2 = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\end{array}\)

e) \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x - 1} \right) = 1 - 1 = 0\\\frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)}} = \frac{0}{2} = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)}}.\end{array}\)

Câu hỏi:

Tính:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right];\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{x^2} + x + 3} .\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng định lí về phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M\)\(\left( {L,M \in \mathbb{R}} \right)\)thì

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) \pm g(x)} \right] = L \pm M\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right] = \frac{L}{M}\left( {M \ne 0} \right)\)

Nếu \(f(x) \ge 0\)với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) thì \(L \ge 0\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)} = \sqrt L \).

Lời giải chi tiết :

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + 2x} \right) = \left( {2 + 1} \right).\left( {{2^2} + 2.2} \right) = 24\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{x^2} + x + 3} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + x + 3} \right)} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 3} = \sqrt {{2^2} + 2 + 3} = 3\)

Câu hỏi:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 1,\,\,x < 0\\0,\,\,x = 0\\1,\,\,x > 0\end{array} \right.\)

Hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị ở Hình 6.

a) Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sao cho \({u_n} < 0\) và \(\lim {u_n} = 0.\) Xác định \(f\left( {{u_n}} \right)\) và tìm \(\lim f\left( {{u_n}} \right).\)

b) Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) sao cho \({v_n} > 0\) và \(\lim {v_n} = 0.\) Xác định \(f\left( {{v_n}} \right)\) và tìm \(\lim f\left( {{v_n}} \right).\)

Hướng dẫn giải :

Quan sát đồ thị hình 6 để trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết :

a) Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sao cho \({u_n} < 0\) và \(\lim {u_n} = 0.\) Khi đó \(f\left( {{u_n}} \right) = - 1\) và \(\lim f\left( {{u_n}} \right) = - 1.\)

b) Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) sao cho \({v_n} > 0\) và \(\lim {v_n} = 0.\) Khi đó \(f\left( {{v_n}} \right) = 1\) và \(\lim f\left( {{v_n}} \right) = 1.\)

Câu hỏi:

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \left( {\sqrt {x + 4} + x} \right)\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng định nghĩa giới hạn một phía.

- Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\). Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y = f(x)\)khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì thỏa mãn \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = L\).

- Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {{x_0};b} \right)\). Số L là giới hạn bên của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L\).

Lời giải chi tiết :

Với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì \({x_n} > - 4\) và \({x_n} \to - 4,\) ta có:

\(\begin{array}{c}\mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to - {4^ + }} \left( {\sqrt {{x_n} + 4} + {x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to - {4^ + }} \sqrt {{x_n} + 4} + \mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to - {4^ + }} {x_n} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to - {4^ + }} \left( {{x_n} + 4} \right)} + \left( { - 4} \right)\\ = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to - {4^ + }} {x_n} + 4} - 4 = \sqrt { - 4 + 4} - 4 = - 4\end{array}\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \left( {\sqrt {x + 4} + x} \right) = - 4\)