Giải mục 3 trang 50, 51 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\)...

Câu hỏi:

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\), công sai d

a) So sánh các tổng sau: \({u_1} + {u_n};\,{u_2} + {u_{n - 1}};...;{u_n} + {u_1}\)

b) Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\). So sánh \(n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\) với \(2{S_n}\)

Hướng dẫn giải :

Dựa vào công thức tổng quát của số hạng để xác định

Lời giải chi tiết :

a) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}{u_1} + {u_n} = {u_1} + {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\{u_2} + {u_{n - 1}} = {u_1} + d + \left( {n - 2} \right)d = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\{u_n} + {u_1} = {u_1} + {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\end{array} \right\} \Rightarrow {u_1} + {u_n} = {u_2} + {u_{n - 1}} = ... = {u_n} + {u_1}\)

b) Dựa vào công thức vừa chứng minh ta có: \(n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\) = \(2{S_n}\)

Câu hỏi:

Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số cộng sau:

a) 3; 1; – 1; ... với n = 10;

b) 1,2; 1,7; 2,2; ... với n = 15.

Hướng dẫn giải :

Dựa vào công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: 3; 1; – 1; ... là cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1 = 3\) và công sai d = 1 – 3 = – 2.Khi đó \(u_{10} = 3 + (10 – 1).(– 2) = 3 + (– 18) = – 15\).Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số cộng là:\(S_{10}= \frac{10(3+(-15))}{2}=-60\)b) 1,2; 1,7; 2,2; ... với n = 15.Ta có: 1,2; 1,7; 2,2; ... là cấp số cộng với số hạng ban đầu \(u_1 = 1,2\) và công sai d = 1,7 – 1,2 = 0,5.Khi đó \(u_{15} = 1,2 + (15 – 1).0,5 = 8,2\).Tổng của 15 số hạng đầu của cấp số cộng là:\(S_{15}=\frac{15(1,2+8,2)}{2}=70,5\).