Bài 45 trang 82 SBT toán 10 Cánh diều: Gọi đường thẳng ∆ có dạng: ax + by + c = 0 (1)...

Đề bài :

Cho ba điểm A(-2; 2), B(4 ; 2), C(6 ; 4). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua B đồng thời cách đều A và C.

Phương pháp giải :

Gọi đường thẳng ∆ có dạng: ax + by + c = 0 (1)

Bước 1: Thay tọa độ B vào PT (1) rồi biểu diễn c theo a và b

Bước 2: Sử dụng công thức khoảng cách để lập PT dạng d(A, ∆) = d(C, ∆)

Bước 3: Giải PT trên tìm mối liên hệ giữa a và b

Bước 4: Lựa chọn 2 giá trị a và b theo mối liên hệ rồi viết PT ∆

Lời giải chi tiết :

Giả sử ∆ có dạng: ax + by + c = 0 (1)

Do \(B(4;2) \in \Delta \) nên \(4a + 2b + c = 0 \Rightarrow c =  - 4a - 2b\)\( \Rightarrow \Delta :ax + by - 4a - 2b = 0\)

Theo giả thiết, d(A, ∆) = d(C, ∆) \( \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2a + 2b - 4a - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {6a + 4b - 4a - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

                                                 \( \Rightarrow \left| { - 6a} \right| = \left| {2a + 2b} \right| \Leftrightarrow 6\left| a \right| = \left| {2a + 2b} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6a = 2a + 2b\\6a =  - 2a - 2b\end{array} \right.\)

                                                 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4a = 2b\\8a =  - 2b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2a = b\\ - 4a = b\end{array} \right.\)

+ Với 2a = b, chọn \(a = 1 \Rightarrow b = 2\)\( \Rightarrow \) ∆ có PT: x + 2y – 8 = 0

+ Với -4a = b, chọn \(a = 1 \Rightarrow b =  - 4\)\( \Rightarrow \) ∆ có PT: x – 4y + 4 = 0

Vậy có 2 đường thẳng ∆ thỏa mãn là x + 2y – 8 = 0 và x – 4y + 4 = 0