Bài 3 trang 71 Toán 10 tập 1 – Cánh diều: Cho tam giác ABC có (AB = 6,AC = 7,BC = 8). Tính (cos A,sin A) và bán kính R c...

Đề bài :

Cho tam giác ABC có \(AB = 6,AC = 7,BC = 8\). Tính \(\cos A,\sin A\) và bán kính R của đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính cosA, bằng cách áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC:

\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2.AC.AB.\cos A\)

Bước 2: Tính sinA, dựa vào cos A.

Bước 3: Tính R, bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC

\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2.\sin A}}\)

Lời giải chi tiết :

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2.AC.AB.\cos A\)

\( \Rightarrow \cos A = \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{{7^2} + {6^2} - {8^2}}}{{2.7.6}} = \frac{1}{4}\)

Lại có: \({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1 \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} \)(do \({0^o} < A \le {90^o}\))

\( \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R\)

\( \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2.\sin A}} = \frac{8}{{2.\frac{{\sqrt {15} }}{4}}} = \frac{{16\sqrt {15} }}{{15}}.\)

Vậy \(\cos A = \frac{1}{4};\)\(\sin A = \frac{{\sqrt {15} }}{4};\)\(R = \frac{{16\sqrt {15} }}{{15}}.\)