Bài 20 trang 66 SBT Toán 8 – Cánh diều: Cho tứ giác \(ABCD\) có \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AD, BC\). Chứng minh: \(MN \le \frac{{AB + DC}}{2}\)...

Đề bài :

Cho tứ giác \(ABCD\) có \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD,BC\). Chứng minh: \(MN \le \frac{{AB + DC}}{2}\). Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Hướng dẫn giải :

Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác đó.

Tính chất: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

Lời giải chi tiết :

Lấy \(I\) là trung điểm của \(BD\). Khi đó, ta có \(MI,NI\) lần lượt là các đường trung bình của tam giác \(ABD\) và \(BDC\) nên \(MI = \frac{{AB}}{2},NI = \frac{{CD}}{2}\).

Do đó \(MI + NI = \frac{{AB + CD}}{2}\) (1)

- Nếu \(I\) không thuộc \(MN\) ta có \(MN < MI + NI\) (bất đẳng thức tam giác).

- Nếu \(I\) thuộc \(MN\) ta có \(MN = MI + NI\).

Tức là, ta luôn có \(MN \le MI + NI\) (2). Từ (1) và (2) suy ra \(MN \le \frac{{AB + CD}}{2}\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(I\) thuộc \(MN\), khi đó \(AB//CD\).