Bài 47 trang 79 SBT Toán 8 – Cánh diều: Cho tam giác \(ABC\). Lấy \(E, F, P\) lần lượt thuộc \(AB, AC...

Đề bài :

Cho tam giác \(ABC\). Lấy \(E,F,P\) lần lượt thuộc \(AB,AC,BC\) sao cho tứ giác \(BEFP\) là hình bình hành (Hình 45). Biết diện tích tam giác \(AEF\) và \(CFP\) lần lượt bằng \(16c{m^2}\) và \(25c{m^2}\).

a) Hãy chỉ ra ba cặp tam giác đồng dạng.

b) Tính diện tích tam giác \(ABC\).

Hướng dẫn giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ ba: góc – góc

Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

a) Ba cặp tam giác đồng dạng là \(\Delta AEF\backsim \Delta ABC,\Delta FPC\backsim \Delta ABC,\Delta AEF\backsim \Delta FPC\).

b) Ta có \(\Delta AEF\backsim \Delta ABC,\Delta FPC\backsim \Delta ABC\) nên \(\frac{{{S_{\Delta AEF}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\frac{{EF}}{{BC}}} \right)^2}\)

\( = > \sqrt {\frac{{{S_{\Delta AEF}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}} = \frac{{EF}}{{BC}}\) (1)

Tương tự \(\sqrt {\frac{{{S_{\Delta FPC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}} = \frac{{CP}}{{BC}}\) (2)

Từ (1) và (2)

\(\begin{array}{l} = > \sqrt {\frac{{{S_{\Delta AEF}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}} + \sqrt {\frac{{{S_{\Delta FPC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}} = \frac{{EF}}{{BC}} + \frac{{CP}}{{BC}} = \frac{{BP}}{{BC}} + \frac{{CP}}{{BC}} = 1\\ = > {\left( {\sqrt {\frac{{{S_{\Delta AEF}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}} + \sqrt {\frac{{{S_{\Delta FPC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}} } \right)^2} = 1\end{array}\)

Hay \(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt {\frac{{16}}{{{S_{\Delta ABC}}}}} + \sqrt {\frac{{25}}{{{S_{\Delta ABC}}}}} } \right)^2}\\ = > {S_{\Delta ABC}} = 81c{m^2}\end{array}\)

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) bằng 81 cm².