Bài 2 trang 65 Toán 8 – Cánh diều: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, các điểm N...

Đề bài :

Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, các điểm N, P phân biệt thuộc cạnh AB sao cho \(AP = PN = NB\). Gọi Q là giao điểm của AM và CP. Chừng minh:

a) \(MN//CP\)

b) \(AQ = QM\)

c) \(CP = 4PQ\)

Hướng dẫn giải :

a) Chứng minh MN là đường trung bình của tam giác BPC.

b) Sử dụng định lý Thales trong tam giác AMN để chứng minh.

c) Sử dụng định lý đường trung bình để chứng minh.

Lời giải chi tiết :

a) Vì \(AP = PN = NB\) nên N là trung điểm BP.

Mà M là trung điểm BC nên MN là đường trung bình của tam giác BPC.

\( \Rightarrow MN//CP\)

b) Tam giác AMN có \(MN//CP\) nên:

\(\frac{{AP}}{{PN}} = \frac{{AQ}}{{QM}}\) (Định lý Thales)

Mà \(AP = PN = NB\) nên P là trung điểm AN hay \(\frac{{AP}}{{PN}} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{{AQ}}{{QM}} = 1 \Rightarrow AQ = QM\).

c) P là trung điểm AN, Q là trung điểm AM nên PQ là đường trung bình của tam giác AMN.

\( \Rightarrow PQ = \frac{1}{2}MN\)

Mà MN là đường trung bình của tam giác BPC nên \(MN = \frac{1}{2}CP \Rightarrow CP = 2MN\)

Vậy \(CP = 4PQ\).