Bài 3 trang 78 Toán 8 – Cánh diều: Bác Hùng vẽ bản đồ trong đó dùng ba đỉnh A, B...

Đề bài :

Bác Hùng vẽ bản đồ trong đó dùng ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt mô tả ba vị trí M, N, P trong thực tiễn. Bác Duy cũng vẽ một bản đồ, trong đó dùng ba đỉnh A’, B’, C’ của tam giác A’B’C’ lần lượt mô tả ba vị trí M, N, P đó. Tỉ lệ bản đồ mà bác Hùng và bác Duy vẽ lần lượt là 1 : 1 000 000 và 1 : 500 000. Chứng minh \(\Delta A’B’C’\; \backsim\Delta ABC\) và tính tỉ số đồng dạng.

Hướng dẫn giải :

Dựa vào tỉ số đồng dạng của hai tam giác ABC và A’B’C’ để tính các khoảng cách

Lời giải chi tiết :

Theo giả thiết, ta có:

\(\Delta ABC \backsim\Delta MNP\) theo hệ số tỉ lệ là \(\frac{1}{{1\,000\,000}}\)

\(\Delta A’B’C’ \backsim\Delta MNP\) theo hệ số tỉ lệ là \(\frac{1}{{1\,500\,000}}\).

Từ đó ta có:

\(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BC}}{{NP}} = \frac{{CA}}{{PM}} = \frac{1}{{1\,000\,000}}\)

Suy ra \( AB = \frac{1}{{1\,000\,000}}MN,\) \(BC = \frac{1}{{1\,000\,000}}NP,\) \(CA = \frac{1}{{1\,000\,000}}PM\)

và \(\frac{{A’B’}}{{MN}} = \frac{{B’C’}}{{NP}} = \frac{{C’A’}}{{PM}} = \frac{1}{{1\,500\,000}}\)

Suy ra \( A’B’ = \frac{1}{{1\,500\,000}}MN,\) \(B’C’ = \frac{1}{{1\,500\,000}}NP,\) \(C’A’ = \frac{1}{{1\,500\,000}}PM\)

Ta thấy

\(\frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{{\frac{1}{{1\,500\,000}}MN}}{{\frac{1}{{1\,000\,000}}MN}} = \frac{2}{3}\)

\(\frac{{B’C’}}{{BC}} = \frac{{\frac{1}{{1\,500\,000}}NP}}{{\frac{1}{{1\,000\,000}}NP}} = \frac{2}{3}\)

\(\frac{{C’A’}}{{CA}} = \frac{{\frac{1}{{1\,500\,000}}PM}}{{\frac{1}{{1\,000\,000}}PM}} = \frac{2}{3}\)

Suy ra \( \frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{{B’C’}}{{BC}} = \frac{{C’A’}}{{CA}} \)

Suy ra \(\Delta A’B’C’\; \backsim\Delta ABC\) (c-c-c) với tỉ số đồng dạng là \(\frac{2}{3}\).