Bài 39 trang 81 SBT Toán 7 Cánh diều:  Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ CM vuô...

Đề bài :

 Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ CM vuông góc với AB tại M, BN vuông góc với AC tại N. Chứng minh AM = AN.

Phương pháp giải :

- Chứng minh \(\Delta A{\rm{D}}B = \Delta A{\rm{D}}C(c - c - c)\) suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) hay \(\widehat {MB{\rm{D}}} = \widehat {NC{\rm{D}}}\)

- Chứng minh \(\Delta BNC = \Delta CMB\) (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra: AB = AC và BM = CN hay

AM = AN

Lời giải chi tiết :

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

AB = AC (giả thiết),

BD = CD (do D là trung điểm của BC),

AD là cạnh chung

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c.c.c).

Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) hay \(\widehat {MBC} = \widehat {NCB}\).

Xét ∆BMC và ∆CNB có:

\(\widehat {BMC} = \widehat {CNB}\left( { = 90^\circ } \right)\)

BC là cạnh chung,

\(\widehat {MBC} = \widehat {NCB}\) (chứng minh trên),

Do đó ∆BMC và ∆CNB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BM = CN (hai cạnh tương ứng).

Ta có AB = AM + MB, AC = AN + NC.

Mà AB = AC, BM = CN.

Suy ra AM = AN.

Vậy AM = AN.