Bài 53 trang 85 SBT Toán 7 Cánh diều: Cho tam giác ABC cân tại A có H là hình chiếu của A trên đường thẳng BC, lấy điểm M...

Đề bài :

Cho tam giác ABC cân tại A có H là hình chiếu của A trên đường thẳng BC, lấy điểm M nằm giữa A và H. Chứng minh:

a) BH = CH;

b) MB = MC;

c) MA < AC.

Phương pháp giải :

- Chứng minh: \(\Delta ABH = \Delta ACH\) suy ra BH = CH.

- Chứng minh: \(\Delta ABM = \Delta ACM(c - g - c)\) suy ra BM = CM.

- Chứng minh góc AMC là góc tù và sử dụng mỗi quan hệ giữa góc và cạnh đối diện để chứng minh: MA < AC

Lời giải chi tiết :

a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Xét ∆AHB và ∆AHC có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}\left( { = 90^\circ } \right)\)

BA = AC (chứng minh trên),

AH là cạnh chung

Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng).

Vậy BH = CH.

b) Vì ∆ABH = ∆ACH (chứng minh câu a)

Suy ra \(\widehat {HAB} = \widehat {HAC}\) (hai góc tương ứng).

Xét ∆AMB và ∆AMC có:

BA = AC (chứng minh câu a),

\(\widehat {MAB} = \widehat {MAC}\) (do \(\widehat {HAB} = \widehat {HAC}\)),

AM là cạnh chung

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c).

Suy ra BM = CM (hai cạnh tương ứng).

Vậy BM = CM.

c) Vì \(\widehat {AMC}\) là góc ngoài của tam giác CMH tại đỉnh M

Nên \(\widehat {AMC} = \widehat {MHC} + \widehat {MCH}\)

Mà \(\widehat {MHC} = 90^\circ \) nên \(\widehat {AMC}\) là góc tù

Xét tam giác AMC có \(\widehat {AMC}\) là góc tù

Nên MC < AC (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất).

Vậy MC < AC.