Giải mục 2 trang 75, 76, 77 Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì bạn nào có số lượng bước chân đi mỗi ngày đều...

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Khám phá trang 75

a) Trong biểu đồ ở Khởi động, cột thứ nhất biểu diễn số lượng học sinh có chiều cao từ 160cm đến dưới 164cm; cột thứ hai biểu diễn số lượng học sinh có chiều cao từ 164cm đến dưới 168cm, … .

Hãy lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu ở , xác định giá trị đại diện của mỗi nhóm và tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

b) Xét mẫu số liệu mới gồm các giá trị đại diện của các nhóm, tần số của mỗi giá trị đại diện bằng tần số của nhóm tương ứng. Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu mới.

Hướng dẫn giải :

a) Khi biểu diễn mẫu số liệu liên tục bởi biểu đồ tần số có dạng cột, các cột thường được vẽ kề nhau. Ta quy ước: cột có đầu mút trái là a và có đầu mút phải là b trên trục hoành biểu diễn cho tần số của nhóm [a; b). Giá trị đại diện của nhóm [a; b) là \(c = \frac{1}{2}(a + b)\)

b) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({S^2}\), được tính bởi công thức:

\({S^2} = \frac{1}{n}[{n_1}{({c_1} - \overline x )^2} + {n_2}{({c_2} - \overline x )^2} + ... + {n_k}{({c_k} - \overline x )^2}]\)

Trong đó: \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu

\(\overline x = \frac{1}{n}({n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k})\) là số trung bình

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(S\), là căn bậc hai số học của phương sai.

Lời giải chi tiết :

a)

b)

Cỡ mẫu: n = 21

Giá trị trung bình của mẫu số liệu mới: \(\overline x = \frac{1}{n}({n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k}) = \frac{1}{{21}}(3.162 + 5.166 + 8.170 + 4.174 + 1.178) = \frac{{3550}}{{21}}\)

Phương sai của mẫu số liệu mới: \({S^2} = \frac{1}{n}[{n_1}{({c_1} - \overline x )^2} + {n_2}{({c_2} - \overline x )^2} + ... + {n_k}{({c_k} - \overline x )^2}] = \frac{1}{{21}}[3{(162 - \frac{{3550}}{{21}})^2} + 5{(166 - \frac{{3550}}{{21}})^2} + ... + 1{(178 - \frac{{3550}}{{21}})^2}] = \frac{{8000}}{{441}}\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu mới: \(\sigma = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {\frac{{8000}}{{441}}} = \frac{{40\sqrt 5 }}{{21}}\)

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 82

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm ở Khởi động

Hướng dẫn giải :

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({S^2}\), được tính bởi công thức:

\({S^2} = \frac{1}{n}[{n_1}{({c_1} - \overline x )^2} + {n_2}{({c_2} - \overline x )^2} + ... + {n_k}{({c_k} - \overline x )^2}]\)

Trong đó: \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu

\(\overline x = \frac{1}{n}({n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k})\) là số trung bình

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(S\), là căn bậc hai số học của phương sai.

Lời giải chi tiết :

Cỡ mẫu: n = 21

Giá trị trung bình của mẫu số liệu mới: \(\overline x = \frac{1}{n}({n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k}) = \frac{1}{{21}}(3.162 + 5.166 + 8.170 + 4.174 + 1.178) = \frac{{3550}}{{21}}\)

Phương sai của mẫu số liệu mới: \({S^2} = \frac{1}{n}[{n_1}{({c_1} - \overline x )^2} + {n_2}{({c_2} - \overline x )^2} + ... + {n_k}{({c_k} - \overline x )^2}] = \frac{1}{{21}}[3{(162 - \frac{{3550}}{{21}})^2} + 5{(166 - \frac{{3550}}{{21}})^2} + ... + 1{(178 - \frac{{3550}}{{21}})^2}] = \frac{{8000}}{{441}}\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu mới: \(\sigma = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {\frac{{8000}}{{441}}} = \frac{{40\sqrt 5 }}{{21}}\)

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 82

Mai và Ngọc cùng sử dụng vòng đeo tay thông minh để ghi lại số bước chân hai bạn đi mỗi ngày trong một tháng. Kết quả được ghi lại ở bảng sau:

a) Hãy tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì bạn nào có số lượng bước chân đi mỗi ngày đều đặn hơn?

Hướng dẫn giải :

a) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({S^2}\), được tính bởi công thức:

\({S^2} = \frac{1}{n}[{n_1}{({c_1} - \overline x )^2} + {n_2}{({c_2} - \overline x )^2} + ... + {n_k}{({c_k} - \overline x )^2}]\)

Trong đó: \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu

\(\overline x = \frac{1}{n}({n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k})\) là số trung bình

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(S\), là căn bậc hai số học của phương sai.

b) Độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì số liệu đều hơn

Lời giải chi tiết :

a) Cỡ mẫu: n = 30

- Xét mẫu số liệu của Mai:

Số trung bình: \(\overline {{x_1}} = \frac{{6.4 + 7.6 + 6.8 + 6.10 + 5.12}}{{30}} = 7,8\)

Phương sai: \({S_1}^2 = \frac{{({{6.4}^2} + {{7.6}^2} + {{6.8}^2} + {{6.10}^2} + {{5.12}^2})}}{{30}} - 7,{8^2} = 7,56\)

Độ lệch chuẩn: \({\sigma _1} = \sqrt {7,56} \approx 2,75\)

- Xét mẫu số liệu của Ngọc:

Số trung bình: \(\overline {{x_2}} = \frac{{2.4 + 5.6 + 13.8 + 8.10 + 2.12}}{{30}} = 8,2\)

Phương sai: \({S_2}^2 = \frac{{({{2.4}^2} + {{5.6}^2} + {{13.8}^2} + {{8.10}^2} + {{2.12}^2})}}{{30}} - 8,{2^2} \approx 3,83\)

Độ lệch chuẩn: \({\sigma _2} = \sqrt {3,83} \approx 1,96\)

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì bạn Ngọc có số lượng bước chân đi mỗi ngày đều đặn hơn