Bài 8 trang 102 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Một nhóm học sinh gồm 4 bạn nữ và một số bạn nam...

Đề bài :

Một nhóm học sinh gồm 4 bạn nữ và một số bạn nam. Chọn ra ngẫu nhiên 2 bạn từ nhóm. Biết rằng xác suất để 2 bạn được chọn đều là nam là \(\frac{1}{3}\). Tính xác suất của biến cố “Cả 2 bạn được chọn có cùng giới tính”.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về tính xác suất của biến cố.

Lời giải chi tiết :

Gọi số bạn nam là n (bạn, n là số tự nhiên). Nhóm học sinh đó có \(n + 4\) (bạn)

Không gian mẫu “Chọn ra ngẫu nhiên 2 bạn từ nhóm”

Số phần tử của không gian mẫu là: \(C_{n + 4}^2\)

Số kết quả thuận lợi của biến cố “2 bạn được chọn đều là nam” là: \(C_n^2\)

Xác suất của biến cố “2 bạn được chọn đều là nam” là: \(\frac{{C_n^2}}{{C_{n + 4}^2}}\)

Vì xác suất để 2 bạn được chọn đều là nam là \(\frac{1}{3}\) nên ta có:

\(\frac{{C_n^2}}{{C_{n + 4}^2}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}:\frac{{\left( {n + 4} \right)!}}{{2!\left( {n + 4 - 2} \right)!}} = \frac{1}{3}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 4} \right)}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3{n^2} - 3n = {n^2} + 7n + 12 \) \( \Leftrightarrow 2{n^2} - 10n - 12 = 0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 6\left( {TM} \right)\\n = - 1\left( L \right)\end{array} \right.\)

Số kết quả thuận lợi của biến cố “Cả 2 bạn được chọn có cùng giới tính” là: \(C_4^2 + C_n^2\)

Xác suất của biến cố “Cả 2 bạn được chọn có cùng giới tính” là: \(\frac{{C_4^2 + C_n^2}}{{C_{n + 4}^2}} = \frac{{C_4^2 + C_6^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{7}{{15}}\)