Bài 2 trang 73 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằngHình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng...

Đề bài :

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm I của cạnh AB. Biết rằng mặt bên (SAB) là tam giác vuông cân tại S. Xác định và tính góc giữa:

a) SA và (ABC);

b) SC và (SAB).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính:

+ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a với (P) bằng \({90^0}\).

+ Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a’ của a trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và (P).

Lời giải chi tiết :

a) Vì \(SI \bot \left( {ABC} \right)\) nên I là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

Do đó, \(\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) \) \( = \left( {SA,AI} \right) \) \( = \widehat {SAI}\)

Vì tam giác SAB vuông cân tại S nên \(\widehat {SAI} \) \( = {45^0}\)

b) Tam giác ABC đều nên CI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, \(IC \bot AB\). Lại có: \(SI \bot IC\left( {do\;SI \bot \left( {ABC} \right)} \right)\) nên \(IC \bot \left( {SAB} \right)\)

Suy ra, I là hình chiếu của C lên mặt phẳng (SAB). Do đó, \(\left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) \) \( = \left( {SC,SI} \right) \) \( = \widehat {CSI}\)

Tam giác ABC đều nên \(IC \) \( = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} \) \( = \frac{{3\sqrt 3 }}{3}\)

Tam giác SAB vuông cân tại S nên SI là đường trung tuyến nên \(SI \) \( = AI \) \( = \frac{1}{2}AB \) \( = \frac{3}{2}\)

Tam giác SIC vuông tại I nên \(\tan \widehat {ISC} \) \( = \frac{{IC}}{{SI}} \) \( = \frac{{\frac{{3\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{3}{2}}} \) \( = \sqrt 3 \) \( \Rightarrow \widehat {ISC} \) \( = {60^0}\)