Bài 3 trang 65 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Chu vi của một đa giác là 213cm...

Đề bài :

Chu vi của một đa giác là 213cm, số đo các cạnh của nó lập thành cấp số cộng với công sai \(d = 7cm\) và cạnh lớn nhất bằng 53cm. Tính số cạnh của đa giác đó.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng để tính: Nếu một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d. Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\), khi đó \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\) hay \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\).

Lời giải chi tiết :

Gọi số cạnh của đa giác là n \(\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\).

Số đo các cạnh của đa giác là \({u_1};{u_2};..;{u_n}\) (với \({u_1}

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = 213\\{u_n} = 53\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) = 213\\{u_n} = 53\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n\left( {{u_1} + 53} \right) = 426\\{u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 53\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n\left( {{u_1} + 53} \right) = 426\\{u_1} + 7\left( {n - 1} \right) = 53\end{array} \right.\)

Suy ra: \(n\left[ {53 - 7\left( {n - 1} \right) + 53} \right] = 426 \Leftrightarrow n\left( {113 - 7n} \right) = 426\)

\( \Leftrightarrow 7{n^2} - 113n + 426 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 6\left( {TM} \right)\\n = \frac{{71}}{7}\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy đa giác trên có 6 cạnh.