Bài 9 trang 15 SBT toán 10 Chân trời sáng tạo: Một quả bóng được nắm thẳng lên từ độ cao ({h_{_0}})(m) với vận tốc ({v_0}) (m/s...

Đề bài :

Một quả bóng được nắm thẳng lên từ độ cao \({h_{_0}}\)(m) với vận tốc \({v_0}\) (m/s). Độ cao của bóng so với mặt đất (tính bằng mét) sau t (s) được cho bởi hàm số

            \(h\left( t \right) =  - \frac{1}{2}g{t^2} + {v_0}t + {h_0}\) với \(g = 10\) (m/s²) là gia tốc trọng tường

a) Tính \({h_{_0}}\) và \({v_0}\) biết độ cao của quả bóng sau 0,5 giây và 1 giây lần lượt là 4,75 m và 5 m.

b) Quả bóng có thể đạt được độ cao trên 4 m không? Nếu có thì trong thời gian bao lâu?

c) Cúng ném từ độ cao \({h_{_0}}\) như trên, nếu muốn độ cao của bóng sau 1 giây trong khoảng từ 2 m đến 3 m thì vận tốc ném bóng \({v_0}\) cần là bao nhiêu?

Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm.

Lời giải chi tiết :

a) Thay \(g = 10\) ta được \(h\left( t \right) =  - 5{t^2} + {v_0}t + {h_0}\)

Độ cao h của quả bóng tại thời điểm khi ném 0,5 giây và 1 giây lần lượt là 4,75 m và 5 m ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}4,75 =  - 5.{\left( {0,5} \right)^2} + {v_0}\left( {0,5} \right) + {h_0}\\5 =  - {5.1^2} + {v_0}.1 + {h_0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,5{v_0} + {h_0} = 6\\{v_0} + h = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{v_0} = 8\\{h_0} = 2\end{array} \right.\)

 Vậy  \({h_{_0}}= 2 m\) và \({v_0}=8 m/s\), \(h\left( t \right) =  - 5{t^2} + 8t + 2\)

b) Bóng cao trên 4 m tương đương \(h\left( t \right) > 4 \Leftrightarrow  - 5{t^2} + 8t + 2 > 4\)

\( \Leftrightarrow  - 5{t^2} + 8t - 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{{4 - \sqrt 6 }}{5} < t < \frac{{4 + \sqrt 6 }}{5}\)

Khoảng thời gian bóng cao trên 4 m là: \(\frac{{4 + \sqrt 6 }}{5} - \frac{{4 - \sqrt 6 }}{5} = \frac{{2\sqrt 6 }}{5} \approx 0,98\)

Vậy bóng đạt độ cao trên 4 m trong khoảng thời gian gần bằng 0,98 giây

c) Để quả bóng có độ cao sau 1 giây trong khoảng 2 m đến 3 m khi và chỉ khi \(2 < h\left( 1 \right) < 3 \Leftrightarrow 2 <  - {5.1^2} + {v_0} + 2 < 3 \Leftrightarrow 5 < {v_0} < 6\)

Vậy vận tốc ném ban đầu nằm trong khoảng 5m/s đến 6 m/s