Bài 10 trang 23 SBT toán 10 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC và ABD cùng vuông tại A như hình 3 có (...

Đề bài :

Cho tam giác ABC và ABD cùng vuông tại A như hình 3 có \(AB = x;BC = 5\) và \(BD = 6\)

a) Biểu diễn độ dài cạnh AC và AD theo x

b) Tìm x để chu vi của tam giác ABC là 12

c) Tìm x để \(AD = 2AC\)

Lời giải chi tiết :

a) Áp dụng định lí pitago cho tam giác ABC ta có:

          \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{5^2} - {x^2}}  = \sqrt {25 - {x^2}} \)

Áp dụng định lí pitago cho tam giác ABD ta có:

          \(AD = \sqrt {B{D^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{6^2} - {x^2}}  = \sqrt {36 - {x^2}} \)

b) Ta có: \(AB + AC + BC = 12\)

          \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + \sqrt {25 - {x^2}}  + 5 = 12\\ \Leftrightarrow \sqrt {25 - {x^2}}  = 7 - x\\ \Rightarrow 25 - {x^2} = 49 - 14x + {x^2}\\ \Rightarrow 2{x^2} - 14x + 24 = 0\end{array}\)

          \( \Rightarrow x = 3\) hoặc \(x = 4\)

Thay hai giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn

Vậy khi \(x = 3\) hoặc \(x = 4\) thì chu vi của tam giác ABC là 12

c) Ta có: \(AD = 2AC\)

          \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {36 - {x^2}}  = 2\sqrt {25 - {x^2}} \\ \Rightarrow 36 - {x^2} = 4\left( {25 - {x^2}} \right)\\ \Rightarrow 3{x^2} - 64 = 0\end{array}\)

          \( \Rightarrow x =  - \frac{{8\sqrt 3 }}{3}\) (loại vì \(x > 0\))  hoặc \(x = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}\)

Thay \(x = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}\) vào phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn

Vậy \(x = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}\) thì \(AD = 2AC\)