Bài 4 trang 102 Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo: Cho hình bình hành ABCD hai điểm M và N lần lượt là trung...

Đề bài :

Cho hình bình hành ABCD hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho \(\overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {AN} \) (hình 1)

a) Tìm tổng của các vectơ:

\(\overrightarrow {NC} \) và \(\overrightarrow {MC} \); \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {CD} \); \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {NC} \)

b) Tìm các vectơ hiệu:

\(\)\(\overrightarrow {NC}  - \overrightarrow {MC} \); \(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BC} \); \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {ME} \).

 c) Chứng minh \(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \)

Phương pháp giải :

a) Chỉ ra các hình bình hành, từ đó suy ra các vectơ bằng nhau và vận dụng quy tắc hình bình hành.

b) Quy tắc hiệu: \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \), quy tắc ba điểm \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {OB} \) và thay thế các vectơ bằng nhau \(\overrightarrow {ME}  = \overrightarrow {AD} \)

c) Thay thế các vectơ bằng nhau \(\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {MC} \); sử dụng quy tắc hình bình hành \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \) (với ABCD là hình bình hành)

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: \(\overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {AN}  \Rightarrow CE//AN\) và \(CE = AN = ND = BM = MC\)

Suy ra \(\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {CE} \)

+) \(\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {NE} \)

+) ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA} \)

\(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {BM} \)

+) Ta có \(\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AN}  \Rightarrow AMCN\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {AM} \)

\(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AE} \) (vì AMED là hình bình hành)

b) Ta có:

+) \(\overrightarrow {NC}  - \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {NM} \)

+) \(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AB} \)

+) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {ME}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {DB} \)

c) Ta có:

\(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AC} \)

Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình bình hành ABCD ta có

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Từ đó suy ra \(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) (đpcm)