Mục 4 trang 92, 93 Toán 10 tập 1 Chân trời sáng tạo: a) Cho điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta đã biết (overr...

HĐ Khám phá 4

a) Cho điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta đã biết \(\overrightarrow {MB}  =  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {AM} .\) Hoàn thành phép cộng vectơ sau: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {MM}  = ?\)

b) Cho điểm G là trọng tâm của tam giác ABC có trung tuyến AI. Lấy D là điểm đối xứng với G qua I. Ta có BGCD là hình bình hành và G là trung điểm của đoạn thẳng AD. Với lưu ý rằng \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {GD} \) và \(\overrightarrow {GA}  = \overrightarrow {DG} \), hoàn thành các phép cộng vectơ sau:

\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow {{\rm{DD}}}  = ?\)

Hướng dẫn giải :

a) Thay thế các vectơ bằng nhau \(\overrightarrow {MB}  =  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {AM} .\)

b) Bước 1: Áp dụng quy tắc hình bình hành trên BGCD

Bước 2: Áp dụng tính chất trung điểm vừa tìm được ở câu a) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \)

(với M là trung điểm của AB)

Lời giải chi tiết :

a) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {MM}  = \overrightarrow 0 \) (vì vectơ \(\overrightarrow {MB}  =  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {AM} .\))

b) Xét hình bình hành BGCD ta có: \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {GD} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow {DG}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow {{\rm{DD}}}  = \overrightarrow 0 \)

(vì \(\overrightarrow {GA}  =  - \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow {DG} \))

Thực hành 5

Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Tìm ba điểm M, N, P thỏa mãn:

a) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \) 

b) \(\overrightarrow {ND}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)     

c) \(\overrightarrow {PM}  + \overrightarrow {PN}  = \overrightarrow 0 \)

Phương pháp

a)  Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)(với G là trọng tâm của tam giác ABC)

b) Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

c) Sử dụng tính chất trung điểm \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \)(với M là trung điểm của AB)

Hướng dẫn giải :

a) Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)(với G là trọng tâm của tam giác ABC)

b) Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

c) Sử dụng tính chất trung điểm \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \)(với M là trung điểm của AB)

Lời giải chi tiết :

a) Áp dụng tính chất trọng tâm ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra M là trọng tâm của tam giác ADB

Vậy M nằm trên đoạn thẳng AO sao cho \(AM = \frac{2}{3}AO\)

b) Tiếp tục áp dụng tính chất trọng tâm \(\overrightarrow {ND}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra N là trọng tâm của tam giác BCD

Vậy N nằm trên đoạn thẳng OD sao cho \(ON = \frac{1}{3}OD\)

c) Áp dụng tính chất trung điểm ta có: \(\overrightarrow {PM}  + \overrightarrow {PN}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra P là trung điểm của đoạn thẳng MN

Vậy điểm P trùng với điểm O