Bài tập 3 trang 69 Toán 9 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E...

Đề bài :

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh AB, BC, AC (Hình 11).

a) Chứng minh 2AD = AB + AC – BC.

b) Tìm các hệ thức tương tự như ở câu a.

Hướng dẫn giải :

- Đọc kỹ dữ kiện đề bài để vẽ hình.

- Chứng minh \(\Delta \) ADI = \(\Delta \) AFI (c – g – c) nên AD = AF. Tương tự,

\(\Delta \)DBI = \(\Delta \)EIB (c – g – c) nên BD = BE (hai cạnh tương ứng);

\(\Delta \)FCI = \(\Delta \)ECI (c – g – c) nên FC = EC rồi thay vào hệ thức

2AD = AB + AC – BC để chứng minh.

Lời giải chi tiết :

a) Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Suy ra I là giao điểm của ba đường phân giác tam giác ABC

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}};\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}};\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\).

Xét \(\Delta \)ADI và \(\Delta \)AFI có:

ID = IF = R;

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (chứng minh trên);

AI chung.

Suy ra \(\Delta \)ADI = \(\Delta \)AFI (c – g – c).

Do đó, AD = AF (hai cạnh tương ứng) (1).

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\Delta \)DBI = \(\Delta \)EIB (c – g – c) suy ra BD = BE (hai cạnh tương ứng) (2).

\(\Delta \)FCI = \(\Delta \)ECI (c – g – c) suy ra FC = EC (hai cạnh tương ứng) (3).

- Ta có: AB + AC – BC = AD + BD + AF + FC – BE – EC (4).

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta được:

AB + AC – BC = AD + BE + AD + EC – BE – EC = 2AD (điều phải chứng minh).

b) Các hệ thức tương tự như ở câu a:

2AF = AB + AC – BC;

2BD = 2BE = AB + BC – AC;

2EC = 2FC = AC + BC – AB.