Bài 3 trang 45 SBT Toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2: Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G \(\left( {M \in AC...

Đề bài :

Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G \(\left( {M \in AC,N \in AB} \right)\). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của GB, GC. Chứng minh:

a) MN//DE

b) ND//ME

Hướng dẫn giải :

+ Sử dụng kiến thức về đường trung bình của tam giác để chứng minh: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

+ Sử dụng kiến thức về tính chất của đường trung bình của tam giác để chứng minh: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải chi tiết :

a) Vì BM và CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC nên \(AM = MC,AN = NB\)

Tam giác ABC có: \(AM = MC,AN = NB\) nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó, \(MN//BC,MN = \frac{1}{2}BC\)

Tam giác GBC có: D, E lần lượt là trung điểm của GB, GC nên DE là đường trung bình của tam giác GBC.

Do đó, DE//BC, \(DE = \frac{1}{2}BC\)

Ta có: MN//BC, DE//BC nên MN//DE

b) Tứ giác MNDE có: MN//DE, \(MN = DE\left( { = \frac{{BC}}{2}} \right)\)

Do đó, tứ giác MNDE là hình bình hành. Do đó, ND//ME