Bài 2 trang 22 SBT Toán 8 - Chân trời sáng tạo: Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau...

Đề bài :

Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau:

a) \(\frac{{3x}}{{2x - 1}}\) và \(\frac{3}{{2x + 1}}\);

b) \(\frac{1}{{xy + x}}\) và \(\frac{y}{{xy - x}}\);

c) \(\frac{{xy}}{{2x + 2y}}\) và \(\frac{{x - y}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\);

d) \(\frac{1}{{x - 1}};\frac{{2x}}{{x + 1}}\) và \(\frac{{1 - 2x}}{{{x^2} - 1}}\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về quy đồng mẫu thức hai phân thức để quy đồng: Để quy đồng mẫu thức hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\), ta thường thực hiện các bước sau:

+ Phân tích mẫu thức B và D thành nhân tử.

+ Tìm các nhân tử chung của hai mẫu thức B và D và các nhân tử riêng của mỗi mẫu thức này.

+ Tính mẫu thức chung bằng cách tính tích các nhân tử chung của hai mẫu thức với các nhân tử riêng của từng mẫu thức.

Một số trường hợp đặc biệt:

- Nếu B và D không có nhân tử chung thì mẫu thức chung là tích của hai mẫu thức.

- Nếu B chia hết cho D thì lấy mẫu chung là B.

Lời giải chi tiết :

a) Mẫu thức chung là \(\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\)

\(\frac{{3x}}{{2x - 1}} = \frac{{3x\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \frac{{6{x^2} + 3x}}{{4{x^2} - 1}}\) và \(\frac{3}{{2x + 1}} = \frac{{3\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \frac{{6x - 3}}{{4{x^2} - 1}}\);

b) Ta có: \(xy + x = x\left( {y + 1} \right);xy - x = x\left( {y - 1} \right)\) nên mẫu thức chung là \(x\left( {y + 1} \right)\left( {y - 1} \right)\)

\(\frac{1}{{xy + x}} = \frac{{y - 1}}{{x\left( {y + 1} \right)\left( {y - 1} \right)}} = \frac{{y - 1}}{{x\left( {{y^2} - 1} \right)}}\) và \(\frac{y}{{xy - x}} = \frac{{y\left( {y + 1} \right)}}{{x\left( {y + 1} \right)\left( {y - 1} \right)}} = \frac{{{y^2} + y}}{{x\left( {{y^2} - 1} \right)}}\);

c) Ta có: \(2x + 2y = 2\left( {x + y} \right)\) nên mẫu thức chung là \(2{\left( {x + y} \right)^2}\)

\(\frac{{xy}}{{2x + 2y}} = \frac{{xy\left( {x + y} \right)}}{{2{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2}y + x{y^2}}}{{2{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\) và \(\frac{{x - y}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {x - y} \right)}}{{2{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{2x - 2y}}{{2{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\);

d) Mẫu thức chung là \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} - 1\)

\(\frac{1}{{x - 1}} = \frac{{x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 1}};\frac{{2x}}{{x + 1}} = \frac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2{x^2} - 2x}}{{{x^2} - 1}}\) và \(\frac{{1 - 2x}}{{{x^2} - 1}}\).