Bài tập 6.5 trang 70 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Bạn An phải thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp...

Đề bài :

Bạn An phải thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là 0,7. Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là 0,9. Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai chỉ là 0,4. Tính xác suất để:

a) Cả hai thí nghiệm đều thành công;

b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công;

c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)

Sử dụng kiến thức về công thức nhân xác suất để tính: Với hai biến cố A, B bất kì ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\)

Lời giải chi tiết :

Gọi A là biến cố: “Thí nghiệm thứ nhất thành công”, B là biến cố “Thí nghiệm thứ hai thành công”. Khi đó, biến cố AB là: “Cả hai thí nghiệm đều thành công”

Theo đầu bài ta có: \(P\left( A \right) = 0,7,P\left( {B|A} \right) = 0,9,P\left( {B|\overline A } \right) = 0,4\). Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = 0,3\)

a) Ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = 0,7.0,9 = 0,63\)

b) Biến cố \(\overline A \overline B \): “Cả hai thí nghiệm đều không thành công”

Ta có: \(P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - 0,4 = 0,6\).

Lại có: \(P\left( {\overline {AB} } \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0,3.0,6 = 0,18\).

c) Vì \(A\overline B \) và AB là hai biến cố xung khắc và \(A\overline B \cup AB = A\) nên theo tính chất của xác xuất ta có: \(P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right) = 0,7 - 0,63 = 0,07\)