Bài 1.20 trang 25 Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng \(144{m^2}\)...

Đề bài :

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng \(144{m^2}\). Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là x (m).

a) Viết biểu thức tính chu vi P(x) (mét) của mảnh vườn.

b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số P(x).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\)

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x = {x_0}\) gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty \)

Sử dụng kiến thức về khái niệm đường tiệm cận xiên để tìm tiệm cận xiên: Đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\).

Lời giải chi tiết :

a) Độ dài cạnh còn lại của mảnh vườn là: \(\frac{{144}}{x}\left( m \right)\)

Chu vi của mảnh vườn là: \(P\left( x \right) = 2\left( {x + \frac{{144}}{x}} \right) = 2x + \frac{{288}}{x}\left( m \right)\)

b) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x + \frac{{288}}{x}} \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x + \frac{{288}}{x}} \right) = - \infty \)

Do đó, đồ thị hàm số P(x) không có tiệm cận ngang.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {2x + \frac{{288}}{x}} \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {2x + \frac{{288}}{x}} \right) = + \infty \)

Do đó, đồ thị hàm số P(x) có tiệm cận đứng là \(x = 0\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {P\left( x \right) - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x + \frac{{288}}{x} - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{288}}{x} = 0\)

Do đó, đồ thị hàm số P(x) có tiệm cận xiên là: \(y = 2x\).