Bài 2.17 trang 37 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cần bao nhiêu viên gạch cho bậc trên cùng?...

Đề bài :

Một cầu thang bằng gạch có tổng cộng 30 bậc. Bậc dưới cùng cần 100 viên gạch. Mỗi bậc tiếp theo cần ít hơn hai viên gạch so với bậc ngay trước nó.

a) Cần bao nhiêu viên gạch cho bậc trên cùng?

b) Cần bao nhiêu viên gạch để xây cầu thang?

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về cấp số cộng:

+ Nếu cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\) được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

+ Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai d. Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\). Khi đó, \({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\)

Lời giải chi tiết :

Công thức của cấp số cộng biểu thị số viên gạch cho mỗi bậc cầu thang như sau:

\({u_1} = 100;{u_{n + 1}} = {u_n} + \left( { - 2} \right)\) với \(n \ge 2\)

a) Ta tính \({u_{30}} = {u_1} + \left( {30 - 1} \right)\left( { - 2} \right) = 42\)

b) Ta tính \({S_{30}} = {u_1} + {u_2} + ... + { u_{30}} = \frac{{30}}{2}\left[ {2.100 + \left( {30 - 1} \right)\left( { - 2} \right)} \right] = 2\;130\)