Bài 2.47 trang 43 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Dãy các số chính phương sau đây không phải là cấp số cộng 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49...

Đề bài :

Dãy các số chính phương sau đây không phải là cấp số cộng

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,…

Tuy nhiên, chúng ta có thể lập một cấp số cộng liên quan bằng cách tìm hiệu của các số hạng liên tiếp của dãy số này.

a) Viết tám số hạng đầu của cấp số cộng liên quan được mô tả ở trên. Tìm công thức của một số hạng thứ n của cấp số cộng này.

b) Mô tả bằng cách nào để chúng ta có thể lập được một cấp số cộng từ dãy các số lập phương sau đây:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729…

c) Viết bảy số hạng đầu của cấp số cộng ở trong phần b) và tìm số hạng thứ n của nó.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng công thức số hạng thứ n của dãy các số chính phương đã cho là \({n^2}\).

Biến đổi linh hoạt dựa theo gợi ý của đề bài.

Lời giải chi tiết :

a) Tám số hạng đầu của cấp số cộng được nói trên là: 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17.

Công thức số hạng thứ n của dãy các số chính phương đã cho là \({n^2}\).

b) Xét dãy các số lập phương, với ba số hạng liên tiếp ta lấy số đầu cộng với số thứ ba trừ đi 2 lần số thứ hai ta thu được một cấp số cộng.

c) Bảy số hạng đầu của cấp số cộng ở trong câu b là 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48.

Công thức tổng quát là \({n^3} + {(n + 2)^3} - 2{(n + 1)^3} = 6n + 6\).